sinx/x의 극한
Limit of sin(x)/x as x Approaches 0
공식
$$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 $$
증명
로피탈 정리를 이용
$\lim\limits_{x \to 0} \sin x = 0 = \lim\limits_{x \to 0} x$이므로, 로피탈 정리에 의해
$$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{\prime} x}{x^{\prime}} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{1} = \dfrac{1}{1} = 1 $$
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터일러 전개를 이용
사인 함수의 테일러 전개는 $\sin x= x - \dfrac{x^{3}}{3!} + \dfrac{x^{5}}{5!} - \cdots$이므로,
$$ \lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x - \dfrac{x^{3}}{3!} + \dfrac{x^{5}}{5!} - \cdots}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \left( 1 - \dfrac{x^{2}}{3!} + \dfrac{x^{4}}{5!} - \cdots \right)= 1 $$
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