랴푸노프 안정성과 오빗 안정성

랴푸노프 안정성과 오빗 안정성

정의

랴푸노프 안정성 1

거리 공간 $\left( X , \left\| \cdot \right\| \right)$ 과 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터 필드미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ x' = f(x) $$

  1. $t_{0} \in \mathbb{R}$ 이라 하자. 주어진 미분 방정식의 솔루션 $\overline{x}(t)$ 가 $\varepsilon > 0$ 이 주어질 때마다 $$ \left\| \overline{x} \left( t_{0} \right) - y \left( t_{0} \right) \right\| < \delta \implies \left\| \overline{x}(t) - y(t) \right\| < \varepsilon \qquad , t > t_{0} $$ 를 만족시키는 다른 모든 솔루션 $y(t)$ 에 대해 $\delta ( \varepsilon ) > 0$ 가 존재하면 $\overline{x}(t)$ 를 랴푸노프 스테이블Liapunov Stable하다고 말한다.
  2. $\overline{x}(t)$ 가 랴푸노프 스테이블하고 $$ \left\| \overline{x} \left( t_{0} \right) - y \left( t_{0} \right) \right\| < b \implies \lim_{t \to \infty} \left\| \overline{x}(t) - y(t) \right\| = 0 $$ 를 만족시키는 다른 모든 솔루션 $y(t)$ 에 대해 상수 $b > 0$ 가 존재하면 $\overline{x}(t)$ 를 점근적 랴푸노프 스테이블Asymtotic Liapunov Stable하다고 말한다.

오빗 안정성 2

  1. $t_{0} \in \mathbb{R}$ 이라 하자. 주어진 미분 방정식의 솔루션 $\overline{x}(t)$ 가 $\varepsilon > 0$ 이 주어질 때마다 $$ \left\| \overline{x} \left( t_{0} \right) - y \left( t_{0} \right) \right\| < \delta \implies d \left( y(t) , O^{+} \left( x_{0} , t_{0} \right) \right) < \varepsilon \qquad , t > t_{0} $$ 를 만족시키는 다른 모든 솔루션 $y(t)$ 에 대해 $\delta ( \varepsilon ) > 0$ 가 존재하면 $\overline{x}(t)$ 를 오비탈리 스테이블Orbitally Stable하다고 말한다.
  2. $\overline{x}(t)$ 가 오비탈리 스테이블하고 $$ \left\| \overline{x} \left( t_{0} \right) - y \left( t_{0} \right) \right\| < b \implies \lim_{t \to \infty} d \left( y(t) , O^{+} \left( x_{0} , t_{0} \right) \right) = 0 $$ 를 만족시키는 다른 모든 솔루션 $y(t)$ 에 대해 상수 $b > 0$ 가 존재하면 $\overline{x}(t)$ 를 점근적 오비탈리 스테이블Asymtotic Orbitally Stable하다고 말한다.

설명

랴푸노프 안정성과 오빗 안정성은 자율 시스템플로우가 안정적인지를 논하기 위한 개념이다. 플로우가 안정적이라는 것은 초기점 $\overline{x} \left( t_{0} \right)$ 이 조금 달라질지라도 플로우가 여전히 비슷한 식으로 흘러간다는 것이다.

여기서 안정성은 플로우에 대한 개념이라고 했지만 고정점, 즉 움직이지 않는 솔루션인 $\overline{x} (t) = x_{0}$ 도 플로우는 플로우이므로 안정성의 개념을 고정점에 그대로 이식할 수 있다. 실제 동역학에서는 보통 이 고정점의 안정성에 관심을 가진다.


  1. Wiggins. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos Second Edition(2nd Edition): p7. ↩︎

  2. Wiggins. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos Second Edition(2nd Edition): p9. ↩︎

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