르벡 적분가능

르벡 적분가능

lesbegue integrable

정의 1

$E \in \mathcal{M}$ 이라고 할 때 가측함수 $f$ 에 대해 $$f^{+} := \max \left\{ f , 0 \right\} \\ f^{-} := \max \left\{ -f , 0 \right\}$$ 라고 하자. 그러면 $$ f = f^{+} - f^{-} \\ | f | = f^{+} + f^{-} $$ 으로 나타낼 수 있다. 만약 $\displaystyle \int_{E} | f | dm < \infty$, 즉 $$ \int_{E} f^{+} dm < \infty \\ \int_{E} f^{-} dm < \infty $$ 이면 $f$ 를 르벡 적분가능Lesbegue Integrable이라 한다. $E$ 에서 적분가능한 함수들의 집합을 다음과 같이 나타낸다. $$ \mathcal{L}^{1}(E) : = \left\{ f \ \left| \ \int_{E} | f | dm < \infty \right. \right\} $$

기초 성질

  • [1]: 적분가능 함수는 가측 함수다.
  • [2]: $f \in \mathcal{L}^{1} (E)$ 면 $\displaystyle \left| \int_{E} f dm \right| \le \int_{E} | f | dm$
  • [3]: $f \in \mathcal{L}^{1} (E) $ 그리고 $c \in \mathbb{R}$ 면 $\displaystyle \int_{E} (c f) dm = c \int_{E} f dm$
  • [4]: $f,g \in \mathcal{L}^{1} (E) $ 면 $\displaystyle \int_{E} ( f + g ) dm = \int_{E} f dm + \int_{E} g dm$
  • [5]: $f,g \in \mathcal{L}^{1} (E)$ 그리고 $f \le g$ 면 $\displaystyle \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm$
  • [6]: 모든 $E \in \mathcal{M}$ 에 대해 $\displaystyle \int_{E} f dm = \int_{E} g dm$ 이면 거의 어디서나 $f= g$ 다.

설명

성질 [1]이 정의 바로 아래에 나오니까 쉬워보이지만 조금 지나면 헷갈릴 수 있으니 입에 익도록 외워두자.

한편 [3]~[5]에서 $\mathcal{L}^{1}(E)$ 는 벡터 공간임을 알 수 있다.


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p86. ↩︎

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