르장드르 변환

르장드르 변환

정의 1

우선 단순함을 위해 라그랑지안을 변수 $v\in \mathbb{R}^{n}$만을 가지는 함수라고 하자.

$$ L(v) = L : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} $$

라그랑지안 $L$이 아래의 두 조건을 만족한다고 하자

그러면 $L$의 르장드르 변환Legendre transform $L^{\ast} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$을 다음과 같이 정의한다.

$$ L^{\ast} (p) := \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}} \left\{ p\cdot v -L(v) \right\} \quad \forall \ p \in \mathbb{R}^{n} $$

펜셸 변환Fenchel transform이라고도 한다.

설명

이 때 $p$는 해밀토니안의 변수인 $\mathbf{p}= D_{v}L\big( \dot{\mathbf{x}},\ \mathbf{x}\big)$와 같다. $L^{\ast}$가 잘 정의됨은 다음과 같이 증명할 수 있다. 또한 $\sup$으로 정의했지만 실제로 $\max$와 같다는 것도 보일 수 있다.

정리

르장드르 변환 $L^{\ast}(p)$는 잘 정의된다. 또한 $\sup \left\{ p\cdot v -L(v) \right\} = \max \left\{ p\cdot v -L(v) \right\}$가 성립한다.

증명

잘 정의됨

$L^{\ast}(p)$가 실숫값을 가짐을 귀류법으로 증명한다. 조건 (a) 에 의해 $L$이 연속이라는 사실은 자명하다. 그리고 르장드르 변환의 정의$(\sup)$에 의해 $-\infty$는 값으로 가질 수 없다.

$$ L^{\ast}(p) = \sup \left\{ p\cdot v -L(v) \right\} \in (-\infty, \infty] $$

이제 $L^{\ast}(p)=\infty$라고 가정하고 모순임을 보이면 실숫값을 가짐을 증명한 것이 된다.


$L^{\ast}(p)=\infty$라고 가정하자. 그러면 아래의 조건을 만족시키는 수열 $\left\{ v_{k} \right\}_{k=1}^\infty$가 존재한다.

$$ \begin{equation} a_{k}:= p\cdot v_{k} -L(v_{k}) \to \infty \quad \text{as } k \to \infty \label{eq1} \end{equation} $$

그리고 모든 $k$에 대해서 $v_{k} \ne 0$이라고 가정하자. 이렇게 가정해도 되는 이유는 $a_{k} \to \infty$이기 때문에 $v_{k}=0$인 경우는 많아봐야 유한개만큼이고 이를 제외한 부분수열을 다시 $v_{k}$라고 둘 수 있기 때문이다. 이제 $\left\{ v_{k} \right\}$가 유계이거나 유계가 아니거나 두 가지의 경우가 있다. 두 경우 모두 모순이 생김을 보이면 증명이 끝난다.

가능한 두 경우에 대해서 모두 모순이므로 가정 $L^{\ast}(p)=\infty$가 틀렸음을 알 수 있다. 따라서 르장드르 변환은 잘 정의된다.

$$ L^{\ast}(p) \in \mathbb{R} $$

$\sup=\max$

이는 다음의 조건을 만족하는 $v_{p} \in \mathbb{R}^{n}$이 존재함을 보이는 것과 같다.

$$ L^{\ast}(p) = p\cdot v_{p}-L(v_{p}) $$

우선 르장드르 변환의 정의$(\sup)$에 의해 아래의 조건을 만족하는 수열 $\left\{ v_{k} \right\}$가 존재한다.

$$ \begin{equation} a_{k} := p\cdot v_{k}-L(v_{k}) \to L^{\ast}(p) \quad \text{as } k \to \infty \label{eq2} \end{equation} $$

우선 $\left\{ v_{k} \right\}$가 유계가 아니라고 가정해보자. 그러면 $|v_{k}| \to \infty$이고 위에서 보였던 바와 같이 $a_{k} \to -\infty$이고 이는 모순이다. 따라서 $\left\{ v_{k} \right\}$는 유계이다. $\left\{ v_{k} \right\}$가 유계이므로 $v_{k} \to v_{p}$로 수렴하는 부분수열이 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.

$$ p\cdot v_{k} - L(v_{k}) \to p \cdot v_{p} -L(v_{p}) \quad \text{as } k \to \infty $$

그런데 $\eqref{eq2}$에서 $p\cdot v_{k}-L(v_{k}) \to L^{\ast}(p)$였으므로 다음이 성립한다.

$$ p \cdot v_{p} -L(v_{p})=L^{\ast}(p) $$


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p120 ↩︎

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