해석학에서 엄밀하게 정의되는 좌극한과 우극한

해석학에서 엄밀하게 정의되는 좌극한과 우극한

정의[^1]

$f: (a,b) \to \mathbb{R}$이라고 하자.

설명

불연속성에 대해 자세히 말하기 위해 아래와 같이 좌극한, 우극한이라는 개념을 정의한다. 주의해야할 점은 좌극한, 우극한은 불연속점에서만 정의되는 것이 아니라 임의의 점에 대해서 정의될 수 있다는 것이다.

해석학의 언어로 엄밀하게 정의했을 뿐 개념자체는 고등학교에서 배웠던 좌극한, 우극한과 다를바 없다. $x$보다 큰 점들로만 이루어진 $x$로 수렴하는 수열에 대해서 함숫값의 수열이 수렴하면 그걸 우극한, 반대의 경우를 좌극한으로 부르자는 말이다. 위의 정의에 따르면 아래의 사실이 성립함이 자명하다는 것을 알 수 있다. 고등학교에서는 아래의 명제가 연속의 정의였다.

정리

임의의 점 $x\in (a,b)$에 대해서 극한 $\lim \limits_{t \to x}f(t)$이 존재한다는 것은

$$ f(x+)=f(x-)=\lim \limits_{t\to x }f(t) $$

가 성립한다는 것과 동치이다.

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