📂측도론

르벡-라돈-니코딤 보조 정리

lebesgue radon nikodym lemma

정리¹

가측 공간 $(X, \mathcal{E})$위의 유한 측도 $\mu$, $\nu$가 주어졌다고 하자. 그러면 $\mu \perp \nu$이거나, 아래의 조건을 만족하는 $\epsilon>0$, $E \in \mathcal{E}$가 존재한다.

$$ \mu(E) >0 \quad \text{and} \quad \nu(E) \ge \epsilon \mu (E) $$

설명

이 정리에 따로 붙은 이름은 없으나 르벡-라돈-니코딤 정리를 증명할 때 유용한 보조정리로 사용한다. 이름은 없지만 두 유한 측도 사이의 관계가 단 둘 중 하나라는 꽤나 강력한 내용을 담고 있다.

증명

우선 자연수 $n$에 대해서 주어진 두 양측도의 차 $\nu-\dfrac{1}{n}\mu$는 부호 측도가 된다. $X=P_n \cup N_n$을 $\nu-\dfrac{1}{n}\mu$에 대한 한 분해라고 하자. 그리고 집합 $P$, $N$을 아래와 같이 정의하자.

$$ P:= \bigcup _{n=1} ^\infty P_n \quad \text{and} \quad N:=P^c=\bigcap _{n=1} ^\infty N_n $$

그러면 $N$은 $\nu-\dfrac{1}{n}\mu$에 대한 음집합이므로 다음이 성립한다.

$$ \nu(N)-\frac{1}{n}\mu(N) \le 0 \quad \implies \quad \nu (N) \le \frac{1}{n}\mu (N) $$

이때 가정에 의해 $\mu (N) < \infty$이고, 위 식은 모든 $n$에 대해 성립하므로 다음을 얻는다.

$$ \nu (N) =0 $$

• Case 1.

  $\mu (P)=0$이라고 가정하자. 그러면 $P\cup N =X$, $P\cap N=\varnothing$이고 $P$는 $\nu$-null, $N$은 $\nu$-null이므로 다음이 성립한다.

  $$ \nu \perp \mu $$

• Case 2.

  $\mu (P)>0$이라고 가정하자. 그러면 $\mu (P_n)>0$인 $n$이 적어도 하나는 존재한다. 그리고 $P_n$은 $\nu -\dfrac{1}{n}\mu$에 대한 양집합이므로 다음이 성립한다.

  $$ \nu (P_n) -\dfrac{1}{n}\mu( P_n) \ge 0 \quad \implies \quad \nu (P_n) \ge \frac{1}{n}\mu (P_n) $$

  $\dfrac{1}{n}$과 $P_n$이 각각 정리를 만족하는 $\epsilon$, $E$가 된다.

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