르벡 적분 📂측도론

르벡 적분

Lebesgue integral

빌드업

리만 적분의 일반화를 생각하기 이전에 단순 함수Simple Function라는 것을 정의할 필요가 있다.

함숫값이 음이 아닌 $\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 의 치역이 유한 집합 $\left\{ a_{1} , a_{2}, \cdots , a_{n} \right\}$ 이라고 하자. $A_{i} = \phi^{-1} \left( \left\{ a_{i} \right\} \right) \in \mathcal{M}$ 을 만족하면 $\phi$ 를 단순 함수라 한다. 단순 함수는 다음 성질들을 가진다.

  • (i): $i \ne j$ 면 $A_{i } \cap A_{j} = \emptyset$
  • (ii): $\displaystyle \bigsqcup_{k=1}^{n} A_{k} = \mathbb{R}$
  • (iii): $\displaystyle \phi(x) = \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbb{1}_{A_{k}}(x)$ 는 가측 함수다.

단순 함수는 그 정의부터가 너무나 다루기 쉬운 세가지 요소로 구성되어있다. 첫째로 함숫값이 음이 아니라서 부호를 생각할 필요가 없고, 둘째로 유한하므로 더하고 빼기가 자유롭고, 셋째로 가측이다. 수학의 여러분야에서 단순Simple이란 말이 여러가지로 쓰이긴 하지만 적어도 실해석에선 ‘복잡’의 반대로 생각해도 되겠다. 이렇듯 다루기 쉽고 편리한 단순 함수를 정의하고나면 곧바로 리만 적분을 커버하는 새로운 적분을 생각해볼 수 있다.

단순 함수의 르벡 적분

$\phi$ 가 단순 함수고 $E \in \mathcal{M}$ 이라고 할 때, $\displaystyle \int_{E} \phi dm := \sum_{k=1}^{n} a_{k} m (A_{k} \cap E)$ 를 단순 함수 $\phi$ 의 르벡 적분이라 한다. 르벡 적분은 다음 성질들을 가진다.

  • [1]: 모든 $r>0$ 에 대해 $\displaystyle \int_{E} a \phi dm = a \int_{E} \phi dm $
  • [2]: 두 단순 함수 $\phi , \psi$ 에 대해 $\phi \le \psi$ 면 $\displaystyle \int_{E} \phi dm \le \int_{E} \psi dm$
  • [3]: $A, B \in \mathcal{M}$ 에 대해 $A \cap B = \emptyset$ 면 $\displaystyle \int_{A \cup B} \phi dm = \int_{A} \phi dm + \int_{B} \phi dm$

그러나 단순 함수라는 조건은 너무나 강력하고 특수하기 때문에 여러군데 써먹을 게 못된다. 여기에 구분구적법의 아이디어 같은 것을 곁들이면 어느정도 만족할만한 ‘르벡 적분’이 완성된다.

정의 1

$\phi$ 가 단순 함수라고 할 때, 함숫값이 음이 아닌 가측함수 $f$ 와 $E \in \mathcal{M}$ 에 대해 $$\displaystyle \int_{E} f dm := \sup \left\{ \left. \int_{E} \phi dm \ \right| \ 0 \le \phi \le f \right\}$$ 를 가측함수 $f$ 의 르벡 적분Lebesgue Integral이라 한다.

기초 성질

르벡 적분은 다음 성질들을 가진다.

  • [1]': 모든 $r \ge 0$ 에 대해 $\displaystyle \int_{E} r f dm = r \int_{E} f dm $
  • [2]': 두 단순 함수 $f, g$ 에 대해 $f \le g$ 면 $\displaystyle \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm$
  • [3]': $A, B \in \mathcal{M}$ 에 대해 $A \cap B = \emptyset$ 면 $\displaystyle \int_{A \cup B} f dm = \int_{A} f dm + \int_{B} f dm$
  • [4]': $A, B \in \mathcal{M}$ 에 대해 $A \subset B$ 면 $\displaystyle \int_{A} f dm \le \int_{B} f dm$
  • [5]': $N \in \mathcal{N}$ 이면 $\displaystyle \int_{N} f dm = 0$
  • [6]': $\displaystyle m(E) \inf_{E} f \le \int_{E} f dm \le m(E) \sup_{E} f $

설명

이러한 기본적인 성질 외에도 아래와 같은 정리를 생각해볼 수 있다. 이 정리를 사용하면 $\displaystyle \int_{\mathbb{R}} \mathbb{1}_{\mathbb{Q}} dm = 0$ 과 같이 신박한 계산도 한줄컷으로 끝낼 수 있다. 보이는 것만큼 증명이 간단하진 않지만 한번쯤은 봐둘만한 가치가 있을 것이다.

정리

가측 공간 $( X , \mathcal{E} )$ 의 가측함수 $f \ge 0$ 와 모든 가측 집합 $A \in \mathcal{E}$ 에 대해 $$ \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.} $$


증명

$( \Rightarrow )$

$E := f^{-1} ( 0 , \infty)$ 에 대해 $m(E) = 0$ 이면 $f$ 는 거의 어디서나 $f=0$ 다. 증명을 위해 $\displaystyle E_{n} := f^{-1} \left[ {{1} \over {n}} , \infty \right)$ 라고 두면 $\displaystyle E = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n}$ 이면서 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} E_{n} = E$ 이 성립한다. 여기서 단순 함수 $\displaystyle \phi_{n} := {{1}\over {n}} \mathbb{1}_{E_{n}} \le f$ 를 생각해보면 $$ {{1}\over {n}} m( E_{n} ) = \int_{A} \phi_{n} dm \le \int_{A} f dm = 0 $$ 이므로 $$ {{1} \over {n}} m(E_{n}) \le 0 $$ 즉, 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $m(E_{n}) = 0$ 이다.

[7]: $E_{n} \in \mathcal{M}$, $\displaystyle E_{n} \subset E_{n+1} \implies m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (E_{n})$

한편 $E_{n} \subset E_{n+1}$ 이므로 다음이 성립한다. $$ m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (E_{n}) = m(E) = 0 $$


$( \Leftarrow )$

$f$ 가 거의 어디서나 $f=0$ 이고 단순 함수 $\phi$ 가 $0 \le \phi \le f$ 를 만족하므로 $\phi$ 역시 거의 어디서나 $\phi = 0$ 이다. 따라서 $\displaystyle \int_{A} f dm = 0$ 이다.


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p77. ↩︎

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