리만적분의 일반화로써의 르벡적분

리만적분의 일반화로써의 르벡적분

lbesgue integral generalized riemann integral

정리 1

유계 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ 와 $g : \mathbb{R} \to [0,\infty)$ 이라고 하자.

  • [1]: $f$ 가 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능한 것은 $f$ 가 르벡 측도에 대해 $[a,b]$ 의 거의 어디에서나 연속인 것과 동치다.
  • [2]: $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx$ 가 존재하면 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{[a,b]} f dm$
  • [3]: $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} g(x) dx$ 가 존재하면 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} g(x) dx = \int_{\mathbb{R}} g dm$

설명

측도에 대한 그 수많은 논의는 모두 이 ‘적분의 일반화’를 위한 것으로 보아도 무방하다. 르벡 적분으로 더 많은 함수의 정적분을 구할 수 있게 된 것은 좋은 일이지만 그 값이 리만 적분과 다르면 의미가 없다.

기초 해석학으로는 리만 적분이 가능한지 불가능한지 파악하는 게 어려웠지만 정리 [1]이 있다면 아주 쉽게 증명이 가능하다. 예를 들어 디리클레 함수 $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ 는 $[0,1]$ 의 모든 점에서 불연속이므로 리만 적분이 존재하지 않는다.


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p98, 101. ↩︎

댓글