리만적분의 일반화로써의 르벡적분

리만적분의 일반화로써의 르벡적분

정리 1

유계 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ 와 $g : \mathbb{R} \to [0,\infty)$ 이라고 하자.

설명

측도에 대한 그 수많은 논의는 모두 이 ‘적분의 일반화’를 위한 것으로 보아도 무방하다. 르벡 적분으로 더 많은 함수의 정적분을 구할 수 있게 된 것은 좋은 일이지만 그 값이 리만 적분과 다르면 의미가 없다.

기초 해석학으로는 리만 적분이 가능한지 불가능한지 파악하는 게 어려웠지만 정리 [1]이 있다면 아주 쉽게 증명이 가능하다. 예를 들어 디리클레 함수 $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ 는 $[0,1]$ 의 모든 점에서 불연속이므로 리만 적분이 존재하지 않는다.


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p98, 101. ↩︎

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