운동량 보존 법칙 쉬운 증명(고등학교 수준)

운동량 보존 법칙 쉬운 증명(고등학교 수준)

law of conservation of momentum

정리

외력이 작용하지 않으면 힘(내력)의 작용 전후의 운동량 총합은 일정하다. 쉽게 말해 두 물체가 충돌할 때 충돌 전 각 물체의 운동량 합과 충돌 후 각 물체의 운동량 합은 같다.

$$ m_1v_1+m_2v_2=m_1{v_1}^{\prime}+m_2{v_2}^{\prime} $$

증명(고등학교 수준)

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두 물체 $A, B$가 충돌할 때 작용반작용의 법칙에 의해 서로가 서로에게 주는 힘은 크기는 같고 방향은 반대이다. $A$가 $B$에게 주는 힘은

$$ \begin{equation} F=F_{AB} \end{equation} $$

$B$가 $A$에게 주는 힘은

$$ \begin{equation} -F=F_{BA} \end{equation} $$

두 물체가 충돌할 때 충돌한 시간은 서로 같다. $(1)$과 $(2)$에 의해서,

$$ \begin{equation} Ft+(-F)t=0 \end{equation} $$

힘에 작용한 시간을 곱하면$(Ft)$ 충격량$(I)$이고, 충격량은 운동량의 변화량과 같다. 따라서

$$ \begin{equation} \begin{cases} Ft=I_B=\Delta p_B=m_B{v_B}^{\prime}-m_Bv_B \\ (-F)t=I_A=\Delta p_A=m_A{v_A}^{\prime}-m_Av_A \end{cases} \end{equation} $$

$(3)$과 $(4)$를 연립하면

$$ m_B{v_B}^{\prime}-m_Bv_B+m_A{v_A}^{\prime}-m_Av_A =0 \\ \implies m_Av_A+m_Bv_B = m_A{v_A}^{\prime}+m_B{v_B}^{\prime} $$

따라서 각 물체의 충돌전후 운동량의 합은 보존된다.역학적에너지는 작용하는 힘이 보존력일 때만 보존되지만 운동량은 외력이 작용하지 않으면 항상 보존된다. 사실 운동량 보존 법칙이 작용반작용의 법칙보다 더 일반적인 법칙이지만 고등학교 수준에서는 그 정도로 엄밀하게 다루지는 않는 듯 하다.

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