전기역학에서의 운동량 보존

전기역학에서의 운동량 보존


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**전자기학에서의 운동량 보존 법칙

$$ \dfrac{d \mathbf{p}}{dt} =-\epsilon_0\mu_0\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} $$

뉴턴의 제 2법칙에 의하면 물체가 받는 힘과 그 물체의 운동량의 변화량은 같다. $$ \mathbf{F} = \dfrac{d \mathbf{p}}{dt} $$ $\mathbf{p}$는 부피 $\mathcal{V}$속의 입자의 총 역학적 운동량이다. 전자기장에 저장된 운동량과 구분하기 위해 굳이 ‘역학적’ 운동량이라 부르겠다. 부피 속의 전하가 받는 전자기력은 아래와 같다. $$ \mathbf{F} =\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} -\epsilon_0\mu_0\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau $$ 따라서 $$ \dfrac{d \mathbf{p}}{dt} =-\epsilon_0\mu_0\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} $$ 위 식이 전기역학에서의 운동량 보존 법칙이다. 모양이 포인팅 정리 와 비슷하므로 비슷한 방식으로 이해할 수 있다.우변의 첫번째 적분은 부피 $\mathcal{V}$속의 전자기장에 저장된 운동량이다. 즉 $\epsilon_0 \mu_0 \mathbf{S}$는 단위부피 공간의 전자기장에 저장된 운동량, 쉽게 말해 장의 운동량 밀도라고 할 수 있다. 이를 다음과 같이 나타낸다. $$ \mathbf{g} =\epsilon_0 \mu_0 \mathbf{S} = \epsilon_0 \mathbf{E}\times\mathbf{B} $$ 우변의 두번째 적분은 단위시간동안 부피 $\mathcal{V}$를 감싸는 면(경계) $\mathcal{S}$로 흘러 들가는 운동량이다. 따라서 역학적 운동량 $\mathbf{p}$가 늘어난다면 장에 저장된 운동량이 줄고있거나 경계면을 통해서 장에 실려 들어오는 운동량이 있는 것이다.진공과 같이 부피 $\mathcal{V}$속 역학적 운동량이 시간에 대해 변하지 않을 때는 $$ \begin{array}{rc} &0 = - \int_{\mathcal{V}} \dfrac{\partial \mathbf{g}}{\partial t} d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T}\cdot d\mathbf{a} \\ \implies & \quad \int_{\mathcal{V}} \dfrac{\partial \mathbf{g}}{\partial t} d\tau = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T}\cdot d\mathbf{a}=\int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot \mathbf{T} d\tau \end{array} $$ 둘째줄 두번째 괄호는 발산정리 에 의해 성립한다. 위의 결과에 의해 아래의 식이 성립한다. $$ \dfrac{\partial \mathbf{g}}{\partial t} =\nabla \cdot \mathbf{T} $$ 위 식은 전자기 운동량에 대한 연속방정식 이다. $\mathbf{g}$가 $\rho$와 같은 역할을, $-\mathbf{T}$가 $\mathbf{J}$와 같은 역할을 한다. 이는 전자기장의 운동량이 국소적으로 보존됨을 의미하지만 일반적으로는 그렇지 않다. 전하와 전자기장이 운동량을 주고받으므로 그 둘 전체의 운동량이 보존된다. 즉 물질과 전자기장의 운동량의 합인 총 운동량이 보존된다.

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