함수의 대소 관계에 따른 적분의 대소 관계

함수의 대소 관계에 따른 적분의 대소 관계

해당 글은 리만-스틸체스 적분을 기준으로 작성되었다. $\alpha=\alpha(x)=x$로 두면 리만 적분과 같다.

정리1

두 함수 $f_{1}, f_{2}$가 구간 $[a,b]$에서 리만(-스틸체스) 적분 가능하다고 하자. 또한 $[a,b]$에서 $f_{1} \le f_{2}$라고 하자. 그러면 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \int_{a}^{b}f_{1}d\alpha \le \int_{a}^{b}f_{2}d\alpha $$

증명

양수 $\varepsilon >0$가 주어졌다고 하자. 그러면 $f_{2}$가 적분가능하므로 필요충분조건에 의해 아래의 식을 만족하는 $[a,b]$의 분할 $P=\left\{ a=x_{0},\cdots,x_{n}=b \right\}$가 존재한다.

$$ U(P,f_{2},\alpha) - L(P,f_{2},\alpha) < \varepsilon $$

그러면 구간 $[a,b]$에서 $f_{1}\le f_{2}$이므로 상합의 정의에 의해서 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} U(P,f_{1},\alpha) \le U(P,f_{2},\alpha) \label{eq1} \end{equation} $$

또한 적분의 정의에 의해서 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \int_{a}^{b}f_{1}d\alpha \le U(P,f_{1},\alpha) \tag{2} \label{eq2} \end{equation} $$

또한 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} U(P,f_{2},\alpha) < \int_{a}^{b}f_{2}d\alpha +\varepsilon \label{eq3} \end{equation} $$

이제 $\eqref{eq1}, \eqref{eq2}, \eqref{eq3}$을 종합하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \int_{a}^{b}f_{1}d\alpha < \int_{a}^{b}f_{2}d\alpha +\varepsilon $$

이때 $\varepsilon$은 임의의 양수이므로 다음이 성립한다.

$$ \int_{a}^{b}f_{1}d\alpha \le \int_{a}^{b}f_{2}d\alpha $$


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p128 ↩︎

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