3차원 데카르트 좌표계에서 스칼라 함수의 라플라시안

3차원 데카르트 좌표계에서 스칼라 함수의 라플라시안

정의

3차원 스칼라 함수 $f=f(x,y,z)$의 그래디언트다이벌전스를 $f$의 라플라시안Laplacian이라 하고 $\nabla^{2}$로 표기한다.

$$ \nabla ^{2} f := \nabla \cdot(\nabla f)= \frac{ \partial^{2} f}{ \partial x^{2} }+\frac{ \partial^{2} f}{ \partial y^{2}}+\frac{ \partial^{2} f}{ \partial z^{2}} $$

설명

라플라시안이라는 이름은 프랑스 수학자 라플라스 에서 따온 것이다. $\nabla^{2}$라는 표현은 편의를 위해서 사용하는 것이다. 수학(편미분방정식론)에서는 $\Delta$라는 표기를 더 많이 쓴다. 라플라시안을 한마디로 말하자면 2계 도함수의 확장이다. 그래디언트가 1계 도함수를 3차원으로 확장한 것이었다면 라플라시안은 2계 도함수를 3차원으로 확장한 것이다. 고등학교 미분 시간에 아래와 같은 내용을 배웠을 것이다.

2020-11-12185637.png1

1계 도함수는 단순히 함수 $f$가 증가하는지 감소하는지에 대한 정보만 주지만, 2계 도함수는 어떻게 증가하거나 감소하고있는지에 대한 정보를 알려준다. $f$의 라플라시안을 구하는 식은 위에서 보이듯이 다이벌전스를 구하는 식에서 미분이 한 번씩 늘어난 것 밖에 없다.

유도

유도랄 것도 없다.

$$ \begin{align*} \nabla \cdot (\nabla f) &= \nabla \cdot \left( \frac{ \partial f}{ \partial x },\frac{ \partial f}{ \partial y},\frac{ \partial f}{ \partial z} \right) \\ &= \frac{ \partial ^{2} f }{ \partial x^{2} }+\frac{ \partial ^{2} f }{ \partial y^{2} } + \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial z^{2} } \end{align*} $$


  1. EBS 2021학년도 수능특강 미적분 p.70 ↩︎

댓글