t^{n}f(t)의 라플라스 변환

t^{n}f(t)의 라플라스 변환

공식

함수 $f(t)$의 라플라스 변환이 $\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = \displaystyle \int _0 ^\infty e^{-st}f(t)dt = F(s)$라고 하자. 그러면 $t^{n}f(t)$의 라플라스 변환은 다음과 같다.

$$ \mathcal{L} \left\{ t^n f(t) \right\} = (-1)^nF^{(n)}(s) $$

유도

우선 $t^nf(t)$의 라플라스 변환은 정의에 의해 다음과 같다.

$$ \int _0 ^\infty e^{-st}tf(t) dt $$

적분 안을 잘 살펴보면 $e^{-st}f(t)$를 $s$에 대해 미분한 것과 같다는 것을 알 수 있다.

$$ \dfrac{d}{ds} \left( e^{-st}f(t) \right) = e^{-st}(-t)f(t) $$

따라서

$$ \dfrac{d}{ds}F(s)=\int_0^\infty \dfrac{d}{ds} \left( e^{-st}f(t) \right) dt =\int_0^\infty e^{-st}(-t)f(t)dt $$

$$ \implies -F'(s) = \mathcal{L} \left\{ tf(t) \right\} $$

$s$에 대한 미분을 반복하면 다음의 결과를 얻는다.

$$ \begin{align*} && -F'(s) &= \int_0^\infty e^{-st}(t)f(t)dt=\mathcal{ L} \left\{ tf(t) \right\} \\ \implies && F^{\prime \prime}(s) &= \int_0^\infty e^{-st}(t^2)f(t)dt=\mathcal{ L} \left\{ t^2f(t) \right\} \\ \implies && -F^{(3)}(s) &= \int_0^\infty e^{-st}(t^3)f(t)dt=\mathcal{ L} \left\{ t^3f(t) \right\} \\ && &\vdots \\ \implies && (-1)^nF^{(n)}(s) &= \int_0^\infty e^{-st}(t^n)f(t)dt=\mathcal{ L} \left\{ t^nf(t) \right\} \end{align*} $$

예시

1

$f(t)=t\sin t$라고 하자. $\mathcal{ L} \left\{ \sin t \right\}=\dfrac{1}{s^2+1}$이므로

$$ \mathcal{ L} \left\{ t\sin t \right\}=\dfrac{-2s}{(s^2+1)^2} $$

2

$f(t)=te^{at}\cos bt$라고 하자. $\mathcal{ L} \left\{ e^{at}\cos bt \right\}=\dfrac{s}{(s-a)^2+b^2}$이므로

$$ \mathcal{ L} \left\{ te^{at} \cos bt \right\}=\dfrac{(s-a)^2+b^2-2(s-a)s}{\left( (s-a)^2+b^2 \right)^4} $$

같이보기

댓글