다항함수의 라플라스 변환

다항함수의 라플라스 변환

Laplace Transform of Polynomial

공식1

$$ \mathcal{L} \left\{ t^p \right\} = \dfrac{ \Gamma (p+1) } {s^{p+1}},\quad s>0 $$

설명

다항식의 라플라스 변환은 감마함수로 나타난다. $t^p$ 대신 익숙한 모양새인 $x^p$라고 하면 한 눈에 알아보기 쉬울 것이다. 보통 미분방정식에서 변수는 시간에 대해서 나타나므로 $x$대신 $t$를 썼다.

유도

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ t^p \right\} &= \int_0^\infty e^{-st}t^p dt \\ &= \lim \limits_{A \to \infty} \left[ -\dfrac{1}{s} \left[ e^{-st}t^p \right] _0^A +\dfrac{p}{s} \int_0^A e^{-st}t^{p-1}dt \right] \\ &= \dfrac{p}{s} \mathcal{L} \left\{ t^{p-1} \right\} \\ &= \lim \limits_{A \to \infty} \left[ \dfrac{p}{s} \dfrac{-1}{s}\left[ e^{-st}t^{p-1} \right] _0^A + \dfrac{p(p-1)}{s^2}\int _0^A e^{-st} t^{p-2} dt\right] \\ &=\dfrac{p(p-1)}{s^2}\mathcal{L} \left\{t^{p-2} \right\} \\ & \vdots \end{align*} $$

위와 같은 방법으로 계속 계산하면 $p$번 후에는 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} &=\dfrac{p(p-1)(p-2) \cdots 1}{s^p}\mathcal{L} \left\{ t^0=1 \right\} \\ &=\dfrac{p!}{s^{p+1}} \\ &=\dfrac{\Gamma (p+1) }{s^{p+1}} \end{align*} $$

단, $\lim \limits_{A \to \infty} e^{-sA} $가 $0$으로 수렴해야 하므로 $s>0$


감마함수에 대해서 정리한 후 $s=1$을 대입하면 흔히 볼 수 있는 감마함수의 정의와 같다.

$$ \Gamma (p+1) = \dfrac{1}{s^{p+1}}\int_0^\infty e^{-st}t^p dt = \int_0^\infty e^{-t}t^p dt $$

같이보기


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p247-248 ↩︎

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