주기 함수의 라플라스 변환

주기 함수의 라플라스 변환

공식

$f$를 주기가 $T$인 주기함수라고 하자. 그러면 $f(t+T)=f(t)$이고 $f(t)$의 라플라스 변환은 아래와 같다.

$$ \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt = \frac{\displaystyle \int_0^T e^{-st}f(t)dt}{1-e^{-st}} $$

유도

$$ f(t+T)=f(t) $$

$f(t)$의 라플라스 변환은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt = \int_0^T e^{-st}f(t)dt + \int_T^{2T} e^{-st}f(t)dt + \int_{2T}^{3T}e^{-st}f(t)dt + \cdots
$$

이 때 두번째 항의 적분 범위를 첫번째 항과 같게 해주기 위해서 $t=t'+T$로 치환하자. 그러면

$$ \int_T^{2T} e^{-st}f(t)dt=\int_0^T e^{-s(t'+T)}f(t'+T)dt' $$

$f$는 주기가 $T$인 주기함수 이므로 $f(t'+T)=f(t')$이고 상수를 앞으로 빼주면 아래와 같은 모양으로 정리된다.

$$ e^{-sT}\int_0^T e^{-st'}f(t')dt'=e^{-sT}\int_0^T e^{-st}f(t)dt $$

세번째 항과 그 이후도 마찬가지로 $t=t'+2T, t=t'+3T, \cdots$처럼 치환하면 같은 방식으로 정리할 수 있다. 그러면 $f(t)$의 라플라스 변환은 아래와 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

$$ \begin{align*} & \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt \\ &= \int_0^T e^{-st}f(t)dt + e^{-sT}\int_0^T e^{-st}f(t)dt + e^{-2sT}\int_0^T e^{-st}f(t)dt + \cdots \\ &= \left( 1+e^{-sT} + e^{-2sT} + \cdots \right) \int_0^T e^{-st}f(t)dt \end{align*} $$

무한등비급수

$|r|<1$일 때,

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = { a \over {1-r}} $$

앞에서 묶어낸 항을 무한등비급수공식으로 나타내면 아래와 같다.

$$ \frac{1}{1-e^{-sT}} $$

따라서 다음을 얻는다.

$$ \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt = \dfrac{\displaystyle \int_0^T e^{-st}f(t)dt}{1-e^{-sT}} $$

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