n계 도함수의 라플라스 변환

n계 도함수의 라플라스 변환

Laplace Transform of n-th Order Derivative

정리1

아래의 두 조건을 가정하자.

  1. 임의의 구간 $0 \le t \le A$에서 함수 $f$, $f^{\prime}$, $\cdots$, $f^{(n-1)}$가 연속이고 n계 도함수 $f^{(n)}(t)$가 부분적으로 연속이라고 하자.
  2. $t \ge M$일 때 $|f(t)| \le Ke^{at}$, $|f^{\prime}(t)| \le Ke^{at}$, $\cdots$, $|f^{(n-1)}(t)| \le Ke^{at}$를 만족하는 실수 $a$와 양수 $K$, $M$이 존재한다.

그러면 $f$의 n계 도함수의 라플라스 변환 $\mathcal{L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\}$가 $s>a$일 때 존재하고 그 값은 아래와 같다.

$$ \mathcal {L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n\mathcal {L} \left\{ f(t) \right\} -s^{n-1}f(0)- s^{n-2}f^{\prime}(0) -\cdots -sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0) $$

설명

1계 도함수일 때의 결과를 반복해서 적용하면 어렵지 않게 이끌어 낼 수 있다.

증명

  • 2계 도함수

    $$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f^{\prime \prime}(t) \right\} &= s\mathcal{L} \left\{ f^{\prime}(t) \right\} -f^{\prime}(0) \\ &= s\Big( s\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -f(0) \Big) -f^{\prime}(0) \\ &= s^2\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -sf(0) -f^{\prime}(0) \end{align*} $$

  • 3계 도함수 $$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f^{(3)}(t) \right\} &= s\mathcal{L} \left\{ f^{\prime \prime}(t) \right\} -f^{\prime \prime}(0) \\ &= s\Big( s^2\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -sf(0) -f^{\prime}(0) \Big) -f^{\prime \prime}(0) \\ &= s^3\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -s^2f(0) -sf^{\prime}(0) -f^{\prime \prime}(0) \end{align*} $$

따라서 위와 같은 과정을 반복하면 n계 도함수의 라플라스 변환을 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ \mathcal {L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n\mathcal {L} \left\{ f(t) \right\} -s^{n-1}f(0)- s^{n-2}f^{\prime}(0) -\cdots -sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0) $$

같이보기


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p249 ↩︎

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