쌍곡함수의 라플라스 변환

쌍곡함수의 라플라스 변환

공식1

쌍곡사인함수와 쌍곡코사인함수의 라플라스 변환은 다음과 같다.

$$ \mathcal{L} \left\{ \sinh (at) \right\} = \dfrac{a}{s^2-a^2},\quad s>|a| \\ \mathcal{L} \left\{ \cosh (at) \right\} = \dfrac{s}{s^2-a^2},\quad s>|a| $$

설명

쌍곡함수의 정의는 다음과 같다.

$$ \sinh (ax) = \dfrac{ e^{ax} - e^{-ax} }{ 2 } \\ \cosh (ax) = \dfrac{ e^{ax} + e^{-ax} }{ 2 } $$

유도

지수함수의 라플라스 변환 결과를 이용한다.


$\sinh (at)$

$$ \begin{align*} \mathcal{ L } \left\{ \sinh (at) \right\} &= \int_0^\infty e^{-st} \sinh (at) dt \\ &= \int _0 ^\infty e^{-st} \left( \dfrac{ e^{at} - e^{-at} }{ 2 } \right) dt \\ &= \dfrac{1}{2}\int _0^\infty e^{-st}e^{at} dt -\dfrac{1}{2}\int _0^\infty e^{-st}e^{-at} dt \\ &= \dfrac{1}{2}\int _0^\infty e^{-(s-a)t} dt -\dfrac{1}{2}\int _0^\infty e^{-(s+a)t} dt \\ &= \dfrac{1}{2}\int _0^\infty e^{-(s-a)t} dt -\dfrac{1}{2}\int _0^\infty e^{-(s+a)t} dt \\ &= \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{s-a} - \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{s+a} \\ &= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{s-a} -\dfrac{1}{s+a} \right) \\ &= \dfrac{1}{2}\dfrac{2a}{s^2-a^2} \\ &= \dfrac{a}{s^2-a^2} \end{align*} $$

단, $\lim \limits_{A \to \infty} e^{-(s-a)A}$와 $\lim \limits_{A \to \infty} e^{-(s+a)A}$가 $0$으로 수렴해야 하므로

$$ s>a \quad \text{and} \quad s>-a $$

따라서 $s>|a|$라는 조건이 붙는다.

$\cosh (at)$

이미 구한 $\sinh (at)$의 라플라스 변환 결과를 이용하여 구한다.

$$ \begin{align*} &&\mathcal {L} \left\{ e^{at} \right\} &= \mathcal{ L} \left\{ \cosh (at) \right\} + \mathcal{L} \left\{ \sinh (at) \right\} \\ \implies&& \mathcal{L} \left\{ \cosh (at) \right\} &= \dfrac{1}{s-a} -\dfrac{a}{s^2-a^2} \\ && &=\dfrac{s+a}{s^2-a^2}-\dfrac{a}{s^2-a^2} \\ && &=\dfrac{s}{s^2-a^2},\quad s>|a| \end{align*} $$

같이보기


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p247 ↩︎

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