계단 함수의 라플라스 변환

계단 함수의 라플라스 변환

Laplace Transform of Heaviside Step Function

정의1

단위 계단 함수를 $c$만큼 평행이동한 것을 다음과 같이 나타내자

$$ u_c(t)=\begin{cases} 0 & t<c \\ 1 & t \ge c \end{cases} $$

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공식

계단 함수 $u_{c}(t)$의 라플라스 변환은 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \mathcal{L} \left\{ u_c(t) \right\} = \dfrac{e^{-cs}}{s},\quad s>0 \label{eq1} \end{equation} $$

$c$를 임의의 상수, $s > a \ge 0$일 때 $f(t)$의 라플라스 변환 $F(s)$이 존재한다고 하자. 즉 $F(s)=\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}$. 그러면 $f$와 $u_{c}$의 곱의 라플라스 변환은 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \mathcal {L} \left\{ u_c(t) f(t-c) \right\} = e^{-cs} F(s) \label{eq2} \end{equation} $$

설명

우리가 다루는 변수 $t$는 시간이므로 $t>0$이고 이는 따로 언급하지 않아도 당연한 것이라 생각하자. $u_{c}(t)$와 같은 함수는 전기회로에서 스위치를 켜거나 끌 때 특정한 시간 이후부터 갑자기 생기거나 사라지는 값을 묘사할 때 유용하다.

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유도

(1)

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ u_c(t) \right\} &= \int_0^\infty e^{-st}u_c(t)dt \\ &=\int_0^c e^{-st}\cdot 0 dt + \int_c^\infty e^{-st}\cdot 1 dt \\ &= \lim _{A \to \infty} -\dfrac{1}{s} \left[ e^{-st} \right]_c^A \\ &= \dfrac{e^{-cs}}{s} \end{align*} $$

이 때, $\lim \limits_{A \to \infty } e^{-sA}=0$ 이어야 하므로 $s>0$이다.

(2)

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ u_c(t) f(t-c) \right\} &= \int_0 ^\infty e^{-st}u_c(t) f(t-c)dt \\ &= \int_c^\infty e^{-st} f(t-c) dt \end{align*} $$

여기서 $t-c=\tau$라고 치환하자. 그러면 $0 \le \tau \le \infty$이고 $dt=d\tau$이다. 따라서

$$ \begin{align*} \int _0 ^\infty e^{-s(\tau+c)}f(\tau)d\tau &= e^{-cs}\int_0^\infty e^{-s\tau}f(\tau)d\tau \\ &= e^{-cs}F(s) \end{align*} $$

예제

$f(t)=\sin t + u_{\pi /4} (t) \cos (t-\frac{\pi}{4})$라고 하자.

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} &= \mathcal{L} \left\{ \sin t \right\} + \mathcal{L} \left\{ u_{\pi /4} \cos (t-\frac{\pi}{4}) \right\} \\ &=\mathcal{L} \left\{ \sin t \right\} + e^{-\frac{\pi }{ 4 }s} \mathcal{L} \left\{ \cos t \right\} \\ &=\dfrac{1}{s^2+1} + e^{ -\frac{\pi}{4}s}\dfrac{s}{s^2+1} \\ &=\dfrac{ 1+ se^{ -\frac{\pi}{4}s}}{s^2+1} \end{align*} $$

같이보기


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p257-260 ↩︎

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