1계 도함수의 라플라스 변환

1계 도함수의 라플라스 변환

정리1

아래의 두 조건을 가정하자.

  1. 임의의 구간 $0 \le t \le A$에서 함수 $f(t)$가 연속이고, 1계 도함수 $f^{\prime}(t)$가 부분적으로 연속이라고 하자.
  2. $t \ge M$일 때 $|f(t)| \le Ke^{at}$를 만족하는 실수 $a$와 양수 $K$, $M$이 존재한다.

그러면 $f$의 1계 도함수의 라플라스 변환 $\mathcal{L} \left\{ f^{\prime}(t) \right\}$가 $s>a$일 때 존재하고 그 값은 아래와 같다.

$$ \mathcal {L} \left\{ f^{\prime}(t) \right\} = s\mathcal {L} \left\{ f(t) \right\} -f(0) $$

설명

조건을 다시 쉽게 말하면 ‘$f(t)$의 라플라스 변환이 존재하고 $f^{\prime}(t)$가 부분적으로 연속이다’가 된다.

증명

$\displaystyle \lim_{A \to \infty} \int _0 ^A e^{-st}f^{\prime}(t)dt$가 수렴하면 증명 완료이다. $f^{\prime}$이 구간에서 부분적으로 연속이라 했으니 $k$개의 불연속 점이 있다고 하자. 그리고 각 불연속 점을 $t_1$, $t_2$, $\cdots$, $t_k$라고 하자. 적분을 불연속 점을 기준으로 나누면 아래와 같다.

$$ \int _0 ^A e^{-st}f^{\prime}(t)dt = \int _0 ^{t_1} e^{-st}f^{\prime}(t)dt + \int _{t_1} ^{t_2} e^{-st}f^{\prime}(t)dt + \cdots + \int _{t_k} ^A e^{-st}f^{\prime}(t)dt $$

이제 각 항을 부분적분하자. 정적분항과 적분항을 따로 나눠서 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \int_0^A e^{-st}f^{\prime}(t)dt &= \left[ e^{-st}f(t)\right]_{0}^{t_1} + \left[ e^{-st}f(t)\right]_{t_1}^{t_2} + \cdots + \left[ e^{-st}f(t)\right]_{t_k}^{A} \\ &\quad +s \left[ \int _0 ^{t_1} e^{-st}f(t)dt + \int _{t_1} ^{t_2} e^{-st}f(t)dt + \cdots + \int _{t_k} ^A e^{-st}f(t)dt \right] \end{align*} $$

정적분항을 계산하고, 적분항을 합쳐주면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} &\left[ e^{-st_1}f(t_1) - e^{-s0}f(0) \right] + \left[ e^{-st_2}f(t_2) - e^{-st_1}f(t_1) \right] + \cdots + \left[ e^{-sA}f(A) - e^{-st_k}f(t_k) \right] + s \int _0 ^{A} e^{-st}f(t)dt \\ &= e^{-sA}f(A) - e^{-s0}f(0) + s \int _0 ^{A} e^{-st}f(t)dt \end{align*} $$

가정에 의해 $f(t)$의 라플라스 변환이 존재하므로

$$ \int _0 ^A e^{-st}f^{\prime}(t)dt = e^{-sA}f(A) - f(0) + s \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} $$

이제 $\displaystyle \lim_{A \to \infty} e^{-sA}f(A)$가 수렴하는지 확인하면 $f^{\prime}(t)$의 라플라스 변환이 존재하는 것을 보이게 된다. 가정2. 에 의해, $|f(A)| \le Ke^{aA}$이다. 양변에 $e^{-sA}$를 곱하면

$$ |e^{-sA}f(A)| \le Ke^{-(s-a)A} $$

다시 양변에 극한 $\lim \limits_{A \to \infty}$를 취하면 $s>a$일 때 우변은 $0$으로 수렴한다. 따라서 좌변 또한 $0$으로 수렴한다. 즉,

$$ \begin{align*} \int_0^\infty e^{-st}f^{\prime}(t)dt &= \lim_{A \to \infty} \int _0 ^A e^{-st}f^{\prime}(t)dt \\ &= \lim_{A \to \infty} e^{-sA}f(A) - f(0) + s \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} \\ &= s \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -f(0) \\ &= s F(s) -f(0) \end{align*} $$

같이보기


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p248-249 ↩︎

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