지수함수의 라플라스 변환

지수함수의 라플라스 변환

Laplace Transform of Exponential Function

공식1

$$ \mathcal {L} \left\{ e^{at} \right\} = \dfrac{1}{s-a},\quad s>a $$

설명

상수함수의 라플라스 변환 결과와 비교해보자.

$$ \mathcal{L} \left\{ 1 \right\} =\dfrac{1}{s} $$

$e^{at}$의 라플라스 변환 결과는 $f(t)=1$일 때 $F(s)$가 $a$만큼 평행이동한 것과 같다. 당연할 수 밖에 없는 것이 원래 함수에 $e^{at}$가 곱해지면 $\displaystyle \int e^{-st}f(t) dt$가$\displaystyle \int e^{-(s-a)t} f(t) dt$로 되기 때문이다. $s$가 $s-a$로 바뀐 것 말고는 차이가 없기 때문에결과도 $F(s)$에서 $F(s-a)$로 바뀐다.

유도

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ e^{at} \right\} &= \int_0^\infty e^{-st} e^{at} dt \\ &= \int _0 ^\infty e^{-(s-a)t}dt \\ &= \lim_{A \to \infty } \left[ -\dfrac{1}{s-a}e^{-(s-a)t} \right]_0^A \\ &= \dfrac{1}{s-a} \end{align*} $$

단, $\lim \limits_{A \to \infty} e^{-(s-a)A}$가 $0$으로 수렴해야 하므로 $s>a$

같이보기


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p245 ↩︎

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