f(ct)의 라플라스 변환

f(ct)의 라플라스 변환

Laplace Transform of Dilation f(ct)

공식1

함수 $f(t)$의 라플라스 변환 $\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = \displaystyle \int _0 ^\infty e^{-st}f(t)dt = F(s)$가 $s>a \ge 0$일 때 존재한다고 가정하자. 그러면 $c >0$에 대해서 $f(ct)$의 라플라스 변환은 다음과 같다.

$$ \mathcal{L} \left\{ f(ct) \right\} =\dfrac{1}{c}F\left(\dfrac{s}{c}\right), \quad s>ca $$

유도

$$ \mathcal{L} \left\{ f(ct) \right\} = \int _0 ^\infty e^{-st}f(ct)dt $$

여기서 $ct=\tau$라고 치환하자. 그러면 $st=\dfrac{s}{c}\tau$, $dt=\dfrac{1}{c}d\tau$이므로,

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f(\tau) \right\} &= \int _{0} ^{\infty} e^{-\frac{s}{c}\tau}f(\tau)\dfrac{1}{c}d\tau \\ &= \dfrac{1}{c} \int _{0} ^{\infty} e^{-\frac{s}{c}\tau}f(\tau)d\tau \\ &= \dfrac{1}{c}F\left(\dfrac{s}{c}\right) \end{align*} $$

마지막 등호는 가정에 의해 성립한다. 또한 가정에 의해 $s >ca$일 때 $f(ct)$의 라플라스 변환이 존재한다.

예제

1

$\mathcal{L} \left\{ \sin t \right\}=\dfrac{1}{s^2+1}$이므로

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ \sin (at) \right\} &= \dfrac{1}{a}\dfrac{1}{{(\frac{s}{a})}^2+1} \\ &= \dfrac{1}{a}\dfrac{a^2}{s^2+a^2} \\ &= \dfrac{a}{s^2+a^2} \end{align*} $$

2

$\mathcal{L} \left\{ \cos t \right\}=\dfrac{s}{s^2+1}$이므로

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ \cos (at) \right\} &= \dfrac{1}{a}\dfrac{s/a}{{(\frac{s}{a})}^2+1} \\ &= \dfrac{1}{a}\dfrac{sa}{s^2+a^2} \\ &= \dfrac{s}{s^2+a^2} \end{align*}
$$

같이보기


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p263 ↩︎

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