라플라스 전개
Laplace Expansion
정리
정사각행렬 $A_{n \times n} = (a_{ij})$ 이 주어져 있다고 하자.
- [1]: 선택된 $i$행 에 대해 $$ \det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} $$
- [2]: 선택된 $j$열 에 대해 $$ \det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} $$
- 정사각행렬 $A_{n \times n} = (a_{ij})$ 의 $i$번째 행과 $j$ 번째 행을 제거한 행렬의 행렬식 $M_{ij}$ 을 소행렬식, 이에 대해 $C_{ij} := (-1)^{i + j} M_{ij}$ 를 여인자라고 한다.
설명
라플라스 전개는 여인자 전개 로도 불리는 정리로써, 그 유용함이 이루 말할 수가 없다. 당장 행렬식을 정의만 가지고 계산하는 것보단 훨씬 쉽다. 특수한 조건이 갖춰진 행렬의 행렬식을 구할 땐 그 장점이 더더욱 배가되므로 팩트만큼은 반드시 알아야만 한다.
예시
당장 어떤 행렬이 가역행렬인지 판단할 때 써먹을만한 예로써 다음 라플라스 전개를 보자.
$$ \begin{align*} \displaystyle \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} =& 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \\ =& 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) \\ =& 0 \end{align*} $$
따라서 $\displaystyle \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ 는 역행렬이 존재하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다.
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