라게르 다항함수

라게르 다항함수

Laguerre Polynomial

정의

$\displaystyle L_{n} := {{ e^{x} } \over { n! }} {{ d^{n} } \over { dx^{n} }} \left( e^{-x} x^{n} \right)$ 을 라게르 다항함수Laguerre Polynomial라 한다.

기초 성질

재귀 공식

  • [0]: $$L_{n+1} (x) = {{ 1 } \over { n+1 }} \left[ \left( 2n + 1 - x \right) L_{n} (x) - n L_{n-1} (x) \right]$$

직교 집합

  • [1] 함수의 내적: $\displaystyle \left<f, g\right>:=\int_a^b f(x) g(x) w(x) dx$ 에 대해 웨이트 $w$ 를 $\displaystyle w(x) := e^{-x}$ 와 같이 주면 $\left\{ L_{0} , L_{1}, L_{2}, \cdots \right\}$ 은 직교 집합이 된다.

설명

$n = 0, \cdots , 3$ 에 대한 라게르 다항함수는 다음과 같이 나타난다. $$ \begin{align*} L_{0} (x) =& 1 \\ L_{1} (x) =& -x + 1 \\ L_{2} (x) =& {{1} \over {2}} \left( x^{2} - 4x + 2 \right) \\ L_{3} (x) =& {{1} \over {6}} \left( - x^{3} + 9 x^2 -18x + 6 \right) \end{align*} $$ 라게르 다항함수는 라게르 미분방정식 $xy’’ + (1-x) y’ + ny = 0$ 의 해로써도 정의된다.

$L_{n} ( x_{k} ) = 0$ 을 만족시키는 라게르 노드 $x_{k}$ 의 클로즈드 폼은 아쉽게도 알려져 있지 않으며, 현재도 수치적으로 계산하고 있다. 주목할 점으로, [1]에서 $\left\{ L_{0} , L_{1}, L_{2}, \cdots \right\}$ 은 직교 집합합일 뿐만 아니라 사실 정규 직교 집합이다.

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