편미분방정식에서 라그랑지안과 오일러-라그랑주 방정식

편미분방정식에서 라그랑지안과 오일러-라그랑주 방정식

정의1

설명

변분법calculus of variations의 목적은 액션 $I$의 적분값이 최소가 되게 하는 $\mathbf{x} \in \mathcal{A}$를 찾는 것이다. 이때의 $\mathbf{x}$를 $I$의 미니마이저minimiaer라고 한다.

$$ I[ \mathbf{x} (\cdot) ] = \inf_{\mathbf{w}(\cdot)\in \mathcal{A}} I[\mathbf{w}(\cdot)] $$

이러한 $\mathbf{x}$를 왜 찾느냐하면 라그랑지안의 액션이 최소가 되는 경로가 실제로 물체가 운동하는 경로이기 때문이다. 다시 말해 물체의 운동에 대해서 알고 싶기 때문이고, 본질적으로 이는 $F=ma$를 푸는 것과 같다. 고젼역학에서 라그랑지안은 구체적으로 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 차이로 주어진다.

미니마이저의 판별에 대해서 다음의 정리가 있다.

정리

$\mathbf{x}(\cdot) \in \mathcal{A}$를 액션 $I$의 미니마이저라고 가정하자. 그러면 $\mathbf{x}(\cdot)$는 아래의 식을 만족한다.

$$ -\dfrac{d}{ds} \Big[ D_vL\big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s) \big) \Big] + D_{x}L\big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s)\big)=0 \quad (0 \le s \le t) $$

위 식을 오일러-라그랑주 방정식Euler-Lagrange equations이라 한다.


주의해야할 점은 미니마이저는 오일러-라그랑주 방정식을 만족하지만, 오일러-라그랑주 방정식을 만족한다고해서 미니마이저인 것은 아니라는 것이다. 최솟값을 가지는 점에서 미분하면 $0$이지만 미분해서 $0$인 점이라고해서 최솟값을 가지는 점은 아닌 것과 같다. 이같은 센스로 오일러-라그랑주 방정식을 만족하는 $\mathbf{x}(\cdot) \in \mathcal{A}$를 $I$의 극점ciritical point 이라 부른다. 따라서 미니마이저는 극점이지만 극점이라고 해서 미니마이저인 것은 아니다.

증명

$\mathbf{x} \in \mathcal{A}$를 액션 $I$의 미니마이저라고 가정하자.

Step 2. 의 결과는 $\eqref{eq1}$을 만족하는 모든 스무스 함수 $\mathbf{y} : [0,t] \to \mathbb{R}^n$에 대해서 성립한다. 그러므로 각괄호 안의 값이 $0$이어야만 한다. 그러므로 다음이 성립한다.

$$ -\dfrac{d}{ds} L_{v_i}( \dot{\mathbf{x}}, \mathbf{x} ) +L_{x_i}( \dot{\mathbf{x}}, \mathbf{x}) =0 $$


이 결과로부터 해밀턴 방정식을 이끌어낼 수 있다.

같이보기


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p115-117 ↩︎

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