각운동량에서 고유함수와 사다리 연산자
ladder operator of angular momentum
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동시고유함수에 대한 표기는 책마다 다를 수 있다.가시오로비츠$\mathrm{gasiorowicz}$의 교재에서는 디랙 표기법을 주로 쓰고 이에 따라 고유함수(고유벡터)를 켓벡터$\mathrm{ket-vector}$로 나타낸다.반면 그리피스$\mathrm{griffith}$의 교재에서는 디랙 표기법을 잘 사용하지 않는다. 같은 고유함수를 $f^m_l$로 표시한다.어떻게 표시하던 의미하는 바가 달라지는게 아니므로 헷갈리지 말자.아래와 같이 정의한 연산자는 고유함수의 상태에 영향을 주기 때문에 사다리 연산자(ladder operator) 라고 부른다. $$ L_\pm = L_{x} \pm iL_{y} $$ 사다리를 타고 올라갔다 내려갔다 하듯이 고유함수의 상태가 오르내리기 때문이다.여기서 $L_+=L_{x} + iL_{y}$를 올림연산자$\mathrm{Raising\ Operator}$, $L_-=L_{x} – iL_{y}$를 내림연산자 $\mathrm{Lowering\ Operator}$라고 부른다.이 사다리 연산자를 이용하여 여기에서 $\mathbf L^2$와 $L_{z}$의 고유값을 구했다.또한 다른 연산자와의 관계나 교환자는 여기에서 구했다.이제 사다리 연산자와 동시 고유함수 $|l,m>$사이의 관계에 대해서 알아보자.결론부터 말하자면
$L_+|l,m>=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\hbar|l,m+1> $$ L_-|l,m>=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\hbar|l,m-1>$
우선 $L_{z}$의 고유값 방정식으로부터 출발하자.$L_{z}|l,m>=m\hbar |l,m>$이므로$L_{z}\color{blue}{|l,m+1>}=(m+1) \hbar \color{blue}{|l,m+1>}$ 이다.또한 $L_+$는 $L_{z}$의 고유값을 $\hbar$만큼 증가시키므로$L_{z}\color{blue}{L_+ |l,m>}=(m+1) \hbar \color{blue}{L_+ |l,m>}$ 이다.위의 두 식을 보면 색깔이 칠해진 부분이 같다는 것을 알 수 있다.완전히 같아야할 필요는 없고 상수배가 되면 각각의 식에 대입해도 같은 결과가 나온다.즉, 아래와 같은 식이 성립한다. $$ L_+|l,m>=C_+|l,m+1> $$ 이 때 $C_+$는 임의의 상수이다.같은 방식으로 $L_-$에 대한 관계식을 찾으면$L_{z} \color{blue}{|l,m-1>} = (m-1)\hbar \color{blue}{|l,m-1>} $$ L_{z} \color{blue}{L_- |l,m>} = (m-1)\hbar \color{blue}{L_- |l,m>}$ 이므로 $$ L_-|l,m>=C_-|l,m-1> $$ 이 때 주의해야할 점은 올림연산자, 내림연산자에 대한 관계식은 고유값 방정식이 아니라는 것이다.고유값 방정식이란 좌-우변에 동일한 고유벡터(고유함수)에 대한 관계식이다.하지만 사다리 연산자에 대한 위의 식을 보면 좌변과 우변의 고유함수가 다르다는 것을 알 수 있다.따라서 위의 관계식은 고유값 방정식이 아니므로 오해하지 말기를 바란다.요약하면 “고유함수의 상태를 변화시키는 연산자는 고유값 방정식을 만족하지 않는다.“마지막으로 $C_+$와 $C_-$의 정확한 값을 구해보자.$C_+$는 $L_+|l,m>$의 자기 자신과의 내적을 통해서 구할 수 있다.$\begin{align*} (L_+|l,m>)^{\ast}(L_+|l,m>) =&\ (C_+|l,m+1>)^{\ast}(C_+|l,m+1>) \\ =&\ |C_+|^2<l,m+1|l,m+1> \\ =&|C_+|^2 \end{align*}$한편$\begin{align*} (L_+|l,m>)^{\ast}(L_+|l,m>) =&\ <l,m|(L_+)^{\ast}L_+|l,m> \\ =&\ <l,m|L_-L_+|l,m> \ ^{1)} \\ =&\ <l,m|\mathbf L ^2 -{L_{z}}^2-\hbar L_{z}|l,m>\ ^{2)} \\ =&\ \left[ l(l+1)\hbar ^2 -m^2\hbar^2 -m\hbar^2 \right]<l,m|l,m> \\ =&\ \hbar^2(l^2+l-m^2-m) \\ =&\ \hbar^2 [(l^2-m^2)+(l-m)] \\ =&\ \hbar^2 (l-m)(l+m+1) \end{align*} $$ ^{1)}$ 다음 줄로 넘어가는 식은 링크의 2번 참고$^{2)}$ 다음 줄로 넘어가는 식은 링크 참고따라서 $|C_+|^2=\hbar^2(l-m)(l+m+1) $$ \implies C_+=\hbar\sqrt{(l-m)(l+m+1)}$이고최종적으로 올림연산자$L_+$와 고유함수$|l,m>$의 관계는 아래와 같다.$L_+|l,m>=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\hbar|l,m+1>$상수 $C_-$역시 같은 방법으로 구할 수 있으며 과정은 생략하고 결과만 적도록 하겠다.$L_-|l,m>=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\hbar|l,m-1>$