L2 공간

L2 공간

L2 Space

정의 1

함수공간 $L^{2}$를 다음과 같이 정의한다.

$$ L^{2} (E) := \left\{ f : \left( \int_{E} | f |^2 dm \right)^{{1} \over {2}} < \infty \right\} $$

성질

  1. $L^{2}$는 벡터공간이다.
  2. $L^{2}$는 놈 공간이다.
  3. $L^{2}$는 완비공간이다.
  4. $L^{2}$는 내적공간이다.

설명

$L^{2}$ 공간은 $L^{p}$ 공간의 $p=2$일 때의 특수한 경우이며, $L^{p}$ 공간 중 유일하게 내적이 정의되는 공간이다. 완비공간인 내적공간을 특별히 힐베르트 공간Hilbert space라 부른다. 따라서 $L^{2}$는 힐베르트 공간이다. 힐베르트 공간은 편미분방정식, 양자역학을 위시한 여러 분야에서 등장하는 중요한 공간이다.

$L^{p}$ 공간에 대해서 일반화된 증명은 여기를 참고하자.

증명

2.

놈의 정의

$V$를 $\mathbb{F}$상에서의 벡터공간이라고 하자. 함수 $\left\| \cdot \right\| : V \to \mathbb{F}$가 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$와 $k \in \mathbb{F}$에 대해서 다음 세 조건을 만족시키면 $\left\| \cdot \right\|$ 을 $V$상에서의 놈이라고 정의한다.

  • 정부호: $\left\| \mathbf{u} \right\| \ge 0$이고 $\mathbf{u} = \mathbb{0} \iff \left\| \mathbf{u} \right\| = 0$
  • 동질성: $\left\|k \mathbf{u} \right\| = | k | \left\| \mathbf{u} \right\| $
  • 삼각부등식: $\left\| \mathbf{u} + \mathbf{v}\right\| \le \left\|\mathbf{v} \right\| + \left\| \mathbf{u} \right\|$

$L ^{2}$의 놈을 $\displaystyle \left\| f \right\|_{2} := \left( \int_{E} | f |^2 dm \right)^{{1} \over {2}}$과 같이 정의하자.

  • Part 1. 정부호

    $| f | \ge 0$이므로 $\left\| f \right\|_{2} \ge 0$거의 어디서나 $f = 0$면 $\left\| f \right\|_{2} = 0$이다. 반대로 $\left\| f \right\|_{2} = 0$이면 거의 어디서나 $f = 0$여야한다.

  • Part 2. 동질성

    $$ \left\| c f \right\|_{2} = \left( \int_{E} | c f |^2 dm \right)^{{1}\over {2}} =\left( |c|^2 \int_{E} | f |^2 dm \right)^{{1}\over {2}} = |c| \left( \int_{E} | f |^2 dm \right)^{{1}\over {2}} = |c| \left\| f\right\|_{2} $$

  • Part 3. 삼각부등식

    $$ \begin{align*} \left\| f + g \right\|_{2}^{2} =& \int_{E} | f + g |^2 dm \\ =& \int_{E} ( f + g ) \overline{( f + g )} dm \\ =& \int_{E} | f |^2 dm + \int_{E} ( f \overline{g} + \overline{f} g ) dm +\int_{E} | g |^2 dm \end{align*} $$

    코시-슈바르츠 부등식에 의해 다음을 얻는다.

    $$ \begin{align*} \int_{E} ( f \overline{g} + \overline{f} g ) dm \le & 2 \int_{E} | fg | dm \le 2 | f |_{2} | g |_{2} \\ =& | f + g | _{2}^{2} \le | f | _{2} + 2 | f | _{2} | g | _{2} + | g | _{2} \\ =& \left( | f |_{2} + | g |_{2} \right)^{2} \end{align*} $$

    정리하면

    $$ \left\| f + g \right\|_{2} \le \left\| f \right\|_{2} + | g |_{2} $$

4.

내적의 정의

$H$를 벡터 공간이라고 하자. $x,y,z \in H$와 $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$에 대해서 다음의 조건을 만족하는 함수

$$ \langle \cdot , \cdot \rangle : H \times H \to \mathbb{C} $$

내적이라 정의하고 $\left( H, \langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$를 내적공간이라 한다.

  • 선형성: $\langle \alpha x + \beta y ,z \rangle =\alpha \langle x,z\rangle + \beta \langle y,z\rangle$
  • 켤레대칭성: $\langle x,y \rangle = \overline{ \langle y,x \rangle}$
  • 정부호: $\langle x,x \rangle \ge 0 \quad \text{and} \quad \langle x,x \rangle = 0\iff x=0$

$L ^{2}$의 내적을 $\displaystyle \langle f , g \rangle := \int_{E} f \overline{g} dm$과 같이 정의하자.

  • Part 1. 선형성

    $$ \langle f + g , h \rangle = \int_{E} ( f + g ) \overline{g} dm = \int_{E} f \overline{g} dm + \int_{E} g \overline{g} dm = \langle f , h \rangle + \langle g , h \rangle $$

    그리고

    $$ \langle c f , g \rangle = \int_{E} c f \overline{g} dm = c \int_{E} f \overline{g} dm = c \langle f , g \rangle $$

  • Part 2. 켤레대칭성

    $$ \langle f , g \rangle = \int_{E} f \overline{g} dm = \overline{ \int_{E} \overline{f} g dm} = \overline{ \int_{E} g \overline{f} dm} = \overline{ \langle f , g \rangle } $$

  • Part 3. 정부호

    $$ \langle f, f \rangle = \int_{E} f \overline{f} dm = \int_{E} | f |^2 dm = \sqrt{ | f |_{2} } $$

성질 2. 의 Part 1에 의해 증명이 끝난다.

같이보기


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p131. ↩︎

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