L1 공간

L1 공간

L1 Space

정의1

함수공간 $L^{1}$ 을 다음과 같이 정의한다.

$$ L^{1} (E) := \left\{ f : \int_{E} | f | dm \lt \infty \right\} $$

성질

  1. $L^{1}$은 벡터공간이다.
  2. $L^{1}$은 놈 공간이다.
  3. $L^{1}$은 완비공간이다.

설명

$L^{1}$ 공간은 $L^{p}$ 공간의 $1=2$일 때의 특수한 경우이며, 르벡 적분가능에 대해 이야기할 때 적분가능한 함수들의 집합으로써 정의된 바 있다.

$L^{p}$공간에 대해서 일반화된 증명은 여기를 참고하자.

증명

2.

놈의 정의

$V$를 $\mathbb{F}$상에서의 벡터공간이라고 하자. 함수 $\left\| \cdot \right\| : V \to \mathbb{F}$가 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$와 $k \in \mathbb{F}$에 대해서 다음 세 조건을 만족시키면 $\left\| \cdot \right\|$ 을 $V$상에서의 놈이라고 정의한다.

  • 정부호: $\left\| \mathbf{u} \right\| \ge 0$이고 $\mathbf{u} = \mathbb{0} \iff \left\| \mathbf{u} \right\| = 0$
  • 동질성: $\left\|k \mathbf{u} \right\| = | k | \left\| \mathbf{u} \right\| $
  • 삼각부등식: $\left\| \mathbf{u} + \mathbf{v}\right\| \le \left\|\mathbf{v} \right\| + \left\| \mathbf{u} \right\|$

$L ^{1}$의 놈을 $\displaystyle \left\| f \right\|_{1} := \int_{E} |f| dm$과 같이 정의하자.

  • Part 1. 정부호

    $| f | \ge 0$이므로 $\left\| f \right\|_{1} \ge 0$거의 어디서나 $f = 0$면 $\left\| f \right\|_{1} = 0$이다. 반대로 $\left\| f \right\|_{1} = 0$이면 거의 어디서나 $f = 0$여야한다.

  • Part 2. 동질성

    $$\left\| c f \right\| _{1} = \int_{E} | c f | dm = |c| \int_{E} | f | dm = |c| \left\| f \right\| _{1}$$

  • Part 3. 삼각부등식

    $$ \left\| f + g \right\|_{1} = \int_{E} | f + g | dm \le \int_{E} | f | dm + \int_{E} | g | dm = \left\| f\right\|_{1} + \left\| g\right\|_{1} $$

3.

완비성

벡터 공간 $X$에 대해 놈 $\left\| \cdot \right\|_{X}$가 정의되어 있다고 하자. 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 $$n, m \ge N \implies \left\| f_{n} - f_{m} \right\|_{X} \lt \varepsilon$$ 을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$이 존재하면 수열 $f_{n} \in X$를 코시 수열이라 한다. 만약 모든 코시 수열이 $X$의 원소로 수렴하면 $X$를 완비하다고 한다.

$f_{n} \in L^{1}$ 을 코시 수열이라고 하면

$$ \left\| f_{n} - f_{N_{1}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2}} $$

를 만족하는 $N_{1}$를 잡을 수 있고, 마찬가지로

$$ \left\| f_{n} - f_{N_{2}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^2}} $$

를 만족하는 $N_{2} > N_{1}$ 을 잡을 수 있다. 이런 방법으로 $$ \left\| f_{n} - f_{N_{n}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^n}} $$ 를 만족하는 $N_{n} > N_{n-1}$를 잡을 수 있다. 삼각부등식에 의해 $$ \left\| f_{N_{n}} - f_{N_{n-1}} \right\|_{1} \lt \left\| f_{N_{n}} - f_{n} \right\|_{1} + \left\| f_{n} - f_{N_{n-1}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^n}} + {{1} \over {2^{n-1}}} \lt {{3} \over {2^{n}}} $$

레비의 정리

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm \lt \infty$면 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x)$는 거의 어디에서나 수렴하고 다음이 성립한다.

$$ \int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm $$

레비의 정리에 의해 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | f_{N_{n}} - f_{N_{n-1}} |_{1}$은 수렴한다. 따라서 다음은 거의 어디서나 수렴한다.

$$ f_{N_{1}}(x) + \sum_{n=2}^{ k } \left[ f_{N_{n}} (x) - f_{N_{n-1}} (x) \right] = f_{N_{k}} $$

여기서 우변이 $f(x)$에 수렴한다고 하면, 우변의 $f_{N_{k}} (x)$역시 $f(x)$로 수렴한다.

파투의 보조정리

함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$에 대해

$$ \displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$

파투의 보조정리에 의해

$$ \begin{align*} \left\| f - f_{n} \right\|_{1} =& \int |f - f_{m}| dm \\ \le & \liminf_{k \to \infty} \int | f_{N_{k}} - f_{m}| dm \\ =& \liminf_{k \to \infty} \left\| f_{N_{k}} - f_{m} \right\| \\ \lt& \varepsilon \end{align*} $$

가정에서 $f_{n}$이 코시수열이므로 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 위 부등식이 성립하고, 따라서 $\left\| f_{n} - f \right\|_{1} \to 0$이다. 짧게 요약하면 $f_{n}$이 코시인데 그 부분수열이 $f$로 수렴하므로, $f_{n}$는 $f$로 수렴한다. 여기서 $f - f_{m} \in L^{1}$인데, $L^{1}$은 벡터 공간이므로

$$ ( f - f_{m} ) + f_{m} = f \in L^{1} $$

$L^{1}$의 모든 코시 수열이 $L^{1}$의 원소에 수렴하므로, $L^{1}$는 완비 공간이다.

같이보기


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p127. ↩︎

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