입자계의 운동 에너지

입자계의 운동 에너지

kinetic energy of a system

입자계의 운동 에너지1

입자계의 선운동량각운동량을 정의했던 것처럼 입자계의 운동 에너지 역시 각 입자의 운동에너지의 합으로 자연스럽게 정의할 수 있다.

$$ \begin{equation} T=\sum \limits _{i=1} ^{n} \frac{ 1}{ 2 }m_{i}v_{i}^{2} \label{kinetic} \end{equation} $$

이제 입자계의 선운동량, 각운동량을 질량중심에 대해서 나타냈던 것과 같은 작업을 할 것이다. 우선 각 입자의 위치 벡터를 아래 그림과 같이 질량 중심에 대한 표현으로 나타내자.

$$ \mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}_{cm}+\overline{\mathbf{r}}_{i} $$

이를 시간에 대해서 미분하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{v}_{i}=\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i} $$

위 식을 $\eqref{kinetic}$에 대입하면 아래와 같다.

$$ \begin{align*} T &= \sum \limits _{i=1} ^{n}\textstyle{\frac{1}{2}}m_{i}(\mathbf{v}_{i}\cdot \mathbf{v}_{i}) \\ &= \sum \limits _{i=1} ^{n}\textstyle{\frac{1}{2}}m_{i}(\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i})\cdot (\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i}) \\ \ &= \sum \limits _{i=1} ^{n} \textstyle{\frac{1}{2}}m_{i}v_{cm}^{2}+\sum \limits _{i=1} ^{n}m_{i}(\mathbf{v}_{cm}\cdot \overline{\mathbf{v}}_{i})+\sum \limits _{i=1} ^{n}\textstyle{\frac{1}{2}}m_{i}\overline{v}_{i}^{2} \\ &= \textstyle{\frac{1}{2}}v_{cm}^{2} \sum \limits _{i=1} ^{n}m_{i}+\mathbf{v}_{cm}\cdot \left( \sum \limits _{i=1} ^{n}m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}\right)+\sum \limits _{i=1} ^{n}\textstyle{\frac{1}{2}}m_{i}\overline{v}_{i}^{2} \end{align*} $$

이때 두번째항의 괄호는 $\mathbf{0}$ 이다.2 따라서 입자계의 운동 에너지는 아래와 같다.

$$ T=\textstyle{\frac{1}{2}}mv_{cm}^{2} + \sum \limits _{i=1} ^{n}\frac{1}{2}m_{i}\overline{v}_{i}^{2} $$

첫째항은 질량 중심에 대한 운동 에너지이다. 두번째항은 각 입자의 질량중심에대한 운동 에너지이다. 이와 같이 운동 에너지를 질량 중심에 관한 항과 질량 중심을 기준으로 했을 때의 상대적인 항으로 나누어 이해하는 것은 물리학의 많은 부분에서 도움이 된다.


  1. Grant R. Fowles and George L. Cassiday, Analytical Mechanics (7th Edition, 2005), p282 ↩︎

  2. (4)참고 ↩︎

댓글