조던 분해 정리

조던 분해 정리

jodan decomposition theorem

정리

가측공간 $(X,\mathcal{E})$와 그 위에서 정의된 부호측도 $\nu$가 주어졌다고 하자. 그러면 아래의 조건을 만족하는 두 양측도 $\nu^{+}$, $\nu^{-}$가 유일하게 존재하고 $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$를 $\nu$ 조던 분해Jodan decomposition라고 한다.

$$ \nu=\nu^{+}-\nu^{-} $$

$$ \nu^{+} \perp \nu^{-} $$

이때 $X=P \cup N$을 한 분해라고 하면 $\nu^{+}, \nu^{-}$는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \nu^{+} (E) &= \nu( E \cap P) \\ \nu^{-}(E) &= -\nu (E \cap N) \end{align*} $$

증명

  • Part 1. 존재성

    가측공간 $(X,\mathcal{E})$와 그 위에서 정의된 부호측도 $\nu$가 주어졌다고 하자. 그러면 한 분해 정리에 의해서 두 $X=P \cup N$, $P\cap N=\varnothing$을 만족하는 $\nu$에 대한 양집합 $P$와 음집합 $N$이 존재한다. 그리고 양측도 $\nu^{+}$, $\nu^{-}$를 아래와 같이 정의하자.

    $$ \begin{align*} \nu^{+} (E) &:= \nu(E \cap P) \\ \nu^{-}(E) &:= -\nu(E\cap N) \end{align*} \quad \forall\ E\in\mathcal{E} $$

    그러면 $P\cup N=X$이므로 다음이 자명하게 성립한다.

    $$ \nu(E)=\nu(E\cap P)+\nu(E \cap N)=\nu^{+} (E) -\nu^{-} (E) $$

    또한 $E_1 \subset P$, $E_2 \subset N$이라고 하면 모든 $E_1$은 $\nu^{-}$에 대해서 영집합이고, 모든 $E_2$는 $\nu^{+}$에 대해서 영집합이다. 따라서 $P$는 $\nu^{-} -\mathrm{null}$이고, $N$은 $\nu^{+} -\mathrm{null}$이다. 그러므로 $\nu^{+} \perp \nu^{-}$이다.

  • Part 2. 유일성

    $\mu^+$, $\mu^-$가 위 내용을 만족하는 $\nu^{+}$, $\nu^{-}$와는 다른 두 양측도라고 하자.

    $$ \nu=\mu^+ - \mu^- $$

    그리고 $E,\ F \in \mathcal{E}$가 $\mu^+\perp \mu^-$를 만족하게 하는 두 집합이라고 하자.

    $$ \mu(E\cap N)=\mu^-(E)=0=\mu^+(F)=\mu(F\cap P) $$

    $$ E \cup F=X \quad \text{and} \quad E\cap F = \varnothing $$ 위의 두 조건으로 인해 $X=E\cup F$는 또 다른 한 분해임을 알 수 있다. 이때 $E$가 양집합, $N$이 음집합이다. 그러면 한 분해 정리에 의해서 $ (P-E)\cup (E-P)$는 $\nu$에 대한 영집합이다. 따라서 임의의 $A \in \mathcal{E}$에 대해서 다음이 성립한다.

    $$ \mu^+(A)=\mu^+ (A\cap E)=\nu (A\cap E)=\nu(A \cap P)=\nu^{+}(A) $$

    마찬가지로 다음의 식이 성립한다.

    $$ \mu^-(A)=\mu^- (A\cap F)=\nu (A\cap F)=\nu(A \cap N)=\nu^{-}(A) $$

    따라서 조던 분해 정리를 만족하는 두 양측도는 유일하다.

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