조던 분해 정리

조던 분해 정리

정리

가측공간 $(X,\mathcal{E})$와 그 위에서 정의된 부호측도 $\nu$가 주어졌다고 하자. 그러면 아래의 조건을 만족하는 두 양측도 $\nu^{+}$, $\nu^{-}$가 유일하게 존재하고 $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$를 $\nu$ 조던 분해Jodan decomposition라고 한다.

$$ \nu=\nu^{+}-\nu^{-} $$

$$ \nu^{+} \perp \nu^{-} $$

이때 $X=P \cup N$을 한 분해라고 하면 $\nu^{+}, \nu^{-}$는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \nu^{+} (E) &= \nu( E \cap P) \\ \nu^{-}(E) &= -\nu (E \cap N) \end{align*} $$

증명

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