이토 부분 적분

이토 부분 적분

정리 1

$[0,t]$ 에서 바운드 된 연속함수 $f(s,\omega) = f(s)$ 가 $s$ 에만 종속되어있다고 하면 $$ \int_{0}^{t} f(s) d W_{s} = f (t) W_{t} - \int_{0}^{t} W_{s} d f (s) $$


설명

이토 적분에 대한 정리일 뿐 흔히 우리가 아는 부분적분법과 크게 다르지 않다. 적분자가 바뀐 것에 주의해야한다. 유도 역시 일반적인 부분적분법과 같다.

$$ \begin{align*} & {{ d } \over { ds }} f(s) W_{s} = {{ d } \over { ds }} f(s) \cdot W_{s} + f(s) {{ d } \over { ds }} W_{s} \\ \implies& \int_{0}^{t} d f(s) W_{s} = \int_{0}^{t} W_{s} d f(s) + \int_{0}^{t} f(s) d W_{s} \\ \implies& f (t) W_{t} = \int_{0}^{t} f(s) d W_{s} + \int_{0}^{t} W_{s} d f (s) \end{align*} $$


  1. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p46. ↩︎

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