이토 적분

이토 적분

빌드업

확률적 적분을 생각하기 이전에 아주 중요한 확률 프로세스인 초등 프로세스Elementary Process을 정의하려고 한다. 초등 프로세스란 측도론에서 르벡 적분을 정의하기 위해 필요했던 단순 함수와 비슷한 역할을 한다.

$$ a = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{k} = b $$ 네츄럴 도메인 $[a,b]$ 에서 위와 같은 분할을 생각해보자. 지시함수 $\chi$ 와 $\mathcal{F}_{t_{j}}$-가측 함수(확률 변수)인 $e_{j}$ 에 대해 다음과 같이 나타나는 $\phi \in m^{2}[a,b]$초등 프로세스라 한다. $$ \phi (t,\omega) := \sum_{j=0}^{k-1} e_{j} (\omega) \chi_{ \left[ t_{j} , t_{j+1} \right] } (t) $$ 이 함수를 위너 프로세스 $W(t)$ 로 적분한다는 것은 구분구적법의 아이디어 그대로 다음과 같이 생각해볼 수 있다. $$ \int_{a}^{b} \phi (t,\omega) d W_{t} (\omega) = \sum_{j=0}^{k-1} e_{j} (\omega) \left[ W_{t_{j+1}} - W_{t_{j}} \right] ( \omega ) $$ 이에 따라 다음과 같은 확률적 적분Stochastic Integral을 정의한다.

정의 1

$f \in m^{2} [a,b]$ 의 이토 적분Itô Integral을 다음과 같이 정의한다. $$ \int_{a}^{b} f (t,\omega) d W_{t} (\omega) := \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} \phi_{n} (t,\omega) d W_{t} (\omega) $$ 여기서 시퀀스 $\left\{ \phi_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 는 다음을 만족시키는 초등 프로세스의 시퀀스다. $$ \lim_{n \to \infty} E \left[ \int_{a}^{b} \left( f (t,\omega) - \phi_{n} (t,\omega) \right)^{2} dt \right] = 0 $$

설명

정의에서 $\left\{ \phi_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 는 조건 $E \int [f-\phi_{n}]^{2} dt \to 0$ 를 만족하는 한 구체적으로 어떻게 선택되든 상관 없다.

기초 성질 2

$f, g \in m^{2} [a,b]$ 이고 필트레이션 $\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 이 주어져 있다고 하자.



  1. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p29. ↩︎

  2. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p118. ↩︎

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