이토 적분

이토 적분

Itô Integral

빌드업

확률적 적분을 생각하기 이전에 아주 중요한 확률 프로세스인 초등 프로세스Elementary Process을 정의하려고 한다. 초등 프로세스란 측도론에서 르벡 적분을 정의하기 위해 필요했던 단순 함수와 비슷한 역할을 한다.

$$ a = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{k} = b $$ 네츄럴 도메인 $[a,b]$ 에서 위와 같은 분할을 생각해보자. 지시함수 $\chi$ 와 $\mathcal{F}_{t_{j}}$-가측 함수(확률 변수)인 $e_{j}$ 에 대해 다음과 같이 나타나는 $\phi \in m^{2}[a,b]$초등 프로세스라 한다. $$ \phi (t,\omega) := \sum_{j=0}^{k-1} e_{j} (\omega) \chi_{ \left[ t_{j} , t_{j+1} \right] } (t) $$ 이 함수를 위너 프로세스 $W(t)$ 로 적분한다는 것은 구분구적법의 아이디어 그대로 다음과 같이 생각해볼 수 있다. $$ \int_{a}^{b} \phi (t,\omega) d W_{t} (\omega) = \sum_{j=0}^{k-1} e_{j} (\omega) \left[ W_{t_{j+1}} - W_{t_{j}} \right] ( \omega ) $$ 이에 따라 다음과 같은 확률적 적분Stochastic Integral을 정의한다.

정의 1

$f \in m^{2} [a,b]$ 의 이토 적분Itô Integral을 다음과 같이 정의한다. $$ \int_{a}^{b} f (t,\omega) d W_{t} (\omega) := \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} \phi_{n} (t,\omega) d W_{t} (\omega) $$ 여기서 시퀀스 $\left\{ \phi_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 는 다음을 만족시키는 초등 프로세스의 시퀀스다. $$ \lim_{n \to \infty} E \left[ \int_{a}^{b} \left( f (t,\omega) - \phi_{n} (t,\omega) \right)^{2} dt \right] = 0 $$

설명

정의에서 $\left\{ \phi_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 는 조건 $E \int [f-\phi_{n}]^{2} dt \to 0$ 를 만족하는 한 구체적으로 어떻게 선택되든 상관 없다.

기초 성질 2

$f, g \in m^{2} [a,b]$ 이고 필트레이션 $\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 이 주어져 있다고 하자.

  • [1] 가측성: $\displaystyle \int_{a}^{b} f d W_{t} = \left( \int_{a}^{b} f d W_{t} \right) (\omega)$ 는 $\mathcal{F}_{b}$-가측이다.
  • [2] 선형성: 상수 $c$ 에 대해 $$ \int_{a}^{b} \left( c f + g \right) d W_{t} = \int_{a}^{b} c f d W_{t} + \int_{a}^{b} g d W_{t} $$
  • [3] 가법성: $a < c < b$ 에 대해 $$ \int_{a}^{b} f d W_{t} = \int_{a}^{c} f d W_{t} + \int_{c}^{b} f d W_{t} $$
  • [4] 정규성: $f$ 가 $\omega \in \Omega$ 와 독립Independent이면, 다시 말해 $f$ 가 결정론적Deterministic이면 $$ \int_{a}^{b} f d W_{t} \sim N \left( 0, \int_{a}^{b} \left( f \right)^{2} dt \right) $$
  • [5]: 유계 확률변수 $Z$ 가 $\mathcal{F}_{b}$-가측이면 $Z f \in m^{2}[a,b]$ 고 다음이 성립한다. $$ \int_{a}^{b} Z f (t) d W_{t} = Z \int_{a}^{b} f (t) d W_{t} $$
  • [6] 기대값: 서브 시그마 필드 $\mathcal{F}_{a}$ 에 대해 $$ E \left[ \int_{a}^{b} f d W_{t} \right] = E \left[ \int_{a}^{b} f d W_{t} | \mathcal{F}_{a} \right] = 0 $$ 이고, $f,g$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ E \left( \int_{a}^{b} f(t) d W_{t} \int_{a}^{b} g(t) d W_{t} \right) = E \left( \int_{a}^{b} f(t) g(t) d W_{t} \right) $$
  • [7] 이토 등거리 등식: $$ E \left( \left| \int_{a}^{b} f W_{t} \right|^{2} \right) = E \left( \int_{a}^{b} \left| f \right|^{2} W_{t} \right) $$ 이는 조건부 기대값에도 마찬가지로 적용되어 다음이 성립한다. $$ E \left( \left| \int_{a}^{b} f d W_{t} \right|^{2} | \mathcal{F}_{a} \right) = E \left( \int_{a}^{b} \left| f \right|^{2} d W_{t} | \mathcal{F}_{a} \right) = \int_{a}^{b} E \left( \left| f \right|^{2} | \mathcal{F}_{a} \right) d W_{t} $$
  • [8]: $f \in m^2$ 이고 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset m^{2}$ 이라 하자. 만약 $n \to \infty$ 일 때 $$ E \left[ \int_{a}^{b} \left( f_{n} - f \right)^{2} dt \right] \to 0 $$ 면 다음과 같이 $n \to \infty$ 일 때 $\mathcal{L}_{2}$ 수렴한다. $$ \int_{a}^{b} f_{n} W_{t} \to \int_{a}^{b} f W_{t} $$

  • $\mathcal{F}_{t}$ 가 $\mathcal{F}$ 의 서브 시그마 필드라는 것은 둘 다 $\Omega$ 의 시그마 필드이되, $\mathcal{F}_{t} \subset \mathcal{F}$ 임을 의미한다.
  • $f$ 가 $\mathcal{F}_{t}$-가측 함수라는 것은 모든 보렐 셋 $B \in \mathcal{B}([0,\infty))$ 에 대해 $f^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{t}$ 라는 의미다.

  1. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p29. ↩︎

  2. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p118. ↩︎

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