이토 적분 📂확률미분방정식

이토 적분

Itô Integral

빌드업

확률적 적분을 생각하기 이전에 아주 중요한 확률 프로세스인 초등 프로세스Elementary Process을 정의하려고 한다. 초등 프로세스란 측도론에서 르벡 적분을 정의하기 위해 필요했던 단순 함수와 비슷한 역할을 한다.

$$ a = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{k} = b $$ 네츄럴 도메인 $[a,b]$ 에서 위와 같은 분할을 생각해보자. 지시함수 $\chi$ 와 $\mathcal{F}_{t_{j}}$-가측 함수(확률 변수)인 $e_{j}$ 에 대해 다음과 같이 나타나는 $\phi \in m^{2}[a,b]$초등 프로세스라 한다. $$ \phi (t,\omega) := \sum_{j=0}^{k-1} e_{j} (\omega) \chi_{ \left[ t_{j} , t_{j+1} \right] } (t) $$ 이 함수를 위너 프로세스 $W(t)$ 로 적분한다는 것은 구분구적법의 아이디어 그대로 다음과 같이 생각해볼 수 있다. $$ \int_{a}^{b} \phi (t,\omega) d W_{t} (\omega) = \sum_{j=0}^{k-1} e_{j} (\omega) \left[ W_{t_{j+1}} - W_{t_{j}} \right] ( \omega ) $$ 이에 따라 다음과 같은 확률적 적분Stochastic Integral을 정의한다.

정의 1

$f \in m^{2} [a,b]$ 의 이토 적분Itô Integral을 다음과 같이 정의한다. $$ \int_{a}^{b} f (t,\omega) d W_{t} (\omega) := \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} \phi_{n} (t,\omega) d W_{t} (\omega) $$ 여기서 시퀀스 $\left\{ \phi_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 는 다음을 만족시키는 초등 프로세스의 시퀀스다. $$ \lim_{n \to \infty} E \left[ \int_{a}^{b} \left( f (t,\omega) - \phi_{n} (t,\omega) \right)^{2} dt \right] = 0 $$

설명

정의에서 $\left\{ \phi_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 는 조건 $E \int [f-\phi_{n}]^{2} dt \to 0$ 를 만족하는 한 구체적으로 어떻게 선택되든 상관 없다.

기초 성질 2

$f, g \in m^{2} [a,b]$ 이고 필트레이션 $\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 이 주어져 있다고 하자.

  • [1] 가측성: $\displaystyle \int_{a}^{b} f d W_{t} = \left( \int_{a}^{b} f d W_{t} \right) (\omega)$ 는 $\mathcal{F}_{b}$-가측이다.
  • [2] 선형성: 상수 $c$ 에 대해 $$ \int_{a}^{b} \left( c f + g \right) d W_{t} = \int_{a}^{b} c f d W_{t} + \int_{a}^{b} g d W_{t} $$
  • [3] 가법성: $a < c < b$ 에 대해 $$ \int_{a}^{b} f d W_{t} = \int_{a}^{c} f d W_{t} + \int_{c}^{b} f d W_{t} $$
  • [4] 정규성: $f$ 가 $\omega \in \Omega$ 와 독립Independent이면, 다시 말해 $f$ 가 결정론적Deterministic이면 $$ \int_{a}^{b} f d W_{t} \sim N \left( 0, \int_{a}^{b} \left( f \right)^{2} dt \right) $$
  • [5]: 유계 확률변수 $Z$ 가 $\mathcal{F}_{b}$-가측이면 $Z f \in m^{2}[a,b]$ 고 다음이 성립한다. $$ \int_{a}^{b} Z f (t) d W_{t} = Z \int_{a}^{b} f (t) d W_{t} $$
  • [6] 기대값: 서브 시그마 필드 $\mathcal{F}_{a}$ 에 대해 $$ E \left[ \int_{a}^{b} f d W_{t} \right] = E \left[ \int_{a}^{b} f d W_{t} | \mathcal{F}_{a} \right] = 0 $$ 이고, $f,g$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ E \left( \int_{a}^{b} f(t) d W_{t} \int_{a}^{b} g(t) d W_{t} \right) = E \left( \int_{a}^{b} f(t) g(t) d W_{t} \right) $$
  • [7] 이토 등거리 등식: $$ E \left( \left| \int_{a}^{b} f W_{t} \right|^{2} \right) = E \left( \int_{a}^{b} \left| f \right|^{2} W_{t} \right) $$ 이는 조건부 기대값에도 마찬가지로 적용되어 다음이 성립한다. $$ E \left( \left| \int_{a}^{b} f d W_{t} \right|^{2} | \mathcal{F}_{a} \right) = E \left( \int_{a}^{b} \left| f \right|^{2} d W_{t} | \mathcal{F}_{a} \right) = \int_{a}^{b} E \left( \left| f \right|^{2} | \mathcal{F}_{a} \right) d W_{t} $$
  • [8]: $f \in m^2$ 이고 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset m^{2}$ 이라 하자. 만약 $n \to \infty$ 일 때 $$ E \left[ \int_{a}^{b} \left( f_{n} - f \right)^{2} dt \right] \to 0 $$ 면 다음과 같이 $n \to \infty$ 일 때 $\mathcal{L}_{2}$ 수렴한다. $$ \int_{a}^{b} f_{n} W_{t} \to \int_{a}^{b} f W_{t} $$

  • $\mathcal{F}_{t}$ 가 $\mathcal{F}$ 의 서브 시그마 필드라는 것은 둘 다 $\Omega$ 의 시그마 필드이되, $\mathcal{F}_{t} \subset \mathcal{F}$ 임을 의미한다.
  • $f$ 가 $\mathcal{F}_{t}$-가측 함수라는 것은 모든 보렐 셋 $B \in \mathcal{B}([0,\infty))$ 에 대해 $f^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{t}$ 라는 의미다.

  1. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p29. ↩︎

  2. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p118. ↩︎

댓글