이상기체의 등온 팽창

이상기체의 등온 팽창

Isothermal expansion of an ideal gas

공식

몰 수가 $1$이고 등온 팽창을 하는 이상기체의 계에서 열에너지가 $Q$, 온도가 $T$, 팽창 전의 부피를 $V_{1}$, 팽창 후의 부피를 $V_{2}$라고 할 때 다음의 식이 성립한다.

$$ \Delta Q = RT \ln \dfrac{V_{2}}{V_{1}} $$

설명

등온 팽창이란 온도가 변하지 않는 조건에서의 팽창을 말한다. 이때 열에너지의 변화는 편리하게도 부피의 변화만을 이용해 구해낼 수 있다. 일단은 팽창이므로 $V_{2} > V_{1}$ 일테고, $\Delta Q > 0$ 에서 열에너지는 증가해서 직관과 맞아 떨어진다.

증명

열역학 제1법칙

$$ d U = \delta Q + \delta W $$

열역학 제1법칙에 의해 $dU(T,V)$는 완전미분이고 다음이 성립한다.

$$ dU = \dfrac{\partial U}{\partial T} dT + \dfrac{\partial U}{\partial V} dV $$

기체분자들의 평균 운동에너지

$$ \left< E_{K} \right> = \dfrac{3}{2} k_{B} T $$

기체 분자들의 평균 운동에너지가 위와 같으므로 전체 에너지는 이에 분자수 $N$ 을 곱한 것과 같다.

$$ U = \dfrac{3}{2} N K_{B} T $$

따라서 $\dfrac{\partial U}{\partial V} = 0$를 얻는다. 그리고 $\displaystyle C_{V} = \dfrac{\partial U}{\partial T}$ 이므로 $dU = C_{V} dT$가 성립한다. 또한 온도가 변하지 않으므로 다음이 성립한다.

$$ \Delta T = 0 \implies dT = 0 \implies dU = C_{V} dT =0 $$

이를 열역학 제1법칙에 대입하면 다음을 얻는다.

$$ 0 = \delta Q + \delta W \implies \delta Q = - \delta W $$

그런데 $\delta W = - p d V$가 성립하므로 다음의 식을 얻는다.

$$ \Delta Q = \int \delta Q = - \int \delta W = \int_{V_{1} }^{V_{2}} p dV $$

이때 몰수가 $n=1$인 기체라고 하면, 이상기체 방정식은 $p = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{RT}{V}$이다. 이를 대입하면 다음과 같다.

$$ \Delta Q = \int_{V_{1}}^{V_{2}} \dfrac{RT}{V} dV = RT \ln \dfrac{V_{2}}{V_{1}} $$

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