동형사상, 모든 n차원 실벡터공간은 Rn과 동형이다

동형사상, 모든 n차원 실벡터공간은 Rn과 동형이다

정의1

선형변환 $T : V \to W$가 일대일이고 전사이면 $T$를 동형사상isomorphism이라 한다. 혹은 $W$가 $V$와 동형isomorphic이라고 한다.

설명

$T : V \to W$가 동형사상이라는 말은 $V$나 $W$나 사실상 다른게 없다는 말이다.

정리

모든 $n$차원 실벡터공간은 $\mathbb{R}^{n}$과 동형이다.

증명

$V$를 $n$차원 실벡터공간이라고 하자. 그러면 다음을 만족하는 일대일이고 전사인 $T$가 존재함을 보이면 증명이 끝난다.

$$ T : V \to \mathbb{R}^{n} $$


$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$을 $V$의 기저라고 하자. 그러면 모든 $\mathbf{v} \in V$에 대해서, 다음과 같은 기저들의 선형결합 표현이 유일하게 존재한다.

$$ \mathbf{v} = k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n},\quad k_{i}\in \mathbb{R} $$

이제 변환 $T$를 다음과 같이 정의하자.

$$ T(\mathbf{v}) = (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) $$


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p471-473 ↩︎

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