추상대수학에서의 동형

추상대수학에서의 동형

Isomorphism in Abstract Algebra

정의 1

이항연산구조 $\left< S , * \right>$ 와 $\left< S' , *' \right>$ 에 대해 전단사 함수 $\phi : S \to S'$ 가 존재해서 모든 $x , y \in S$ 에 대해 $$ \phi(x \ast\ y) = \phi( x ) *' \phi( y ) $$ 를 만족하면 $\phi$ 를 동형사상이라 부르고 $S$ 와 $S'$ 가 동형Isomorphic이라 하고 $S \simeq S'$ 라 쓴다.

설명

정의를 요약하자면 연산를 보존하는 전단사가 존재해주면 사실상 서로 같다고 보겠다는 것이다. 꼭 추상대수에서 말하는 아이소멀피즘Isomorphism이 아니라도 이러한 사상은 수학 전반에서 무척 중요하다.

만약 $\phi$ 가 연산은 보존하되 전단사까지는 아닐 경우 이를 준동형사상Homomorphism이라 한다. 이와 같이 동형사상은 아니지만 여러 중요한 사상들이 있고 그에 대한 연구도 수없이 많다.

다음은 동형사상에 의해 항등원의 정체성 역시 보존된다는 의미의 정리다.

정리

동형사상 $\phi$ 에 의해 $S \simeq S'$ 이고 $e$ 가 $S$ 의 항등원이면 $\phi(e)$ 는 $S'$ 의 항등원이다.

증명

$e$ 가 $S$ 의 항등원이므로, $s \in S$ 에 대해 $$ e \ast\ s = s \ast\ e = s $$

$$ \phi ( e \ast\ s ) = \phi ( s \ast\ e ) = \phi ( s ) $$ $\phi$ 는 동형사상이므로, $s' : = \phi(s) \in S'$ 에 대해 $$ \phi ( e ) *' \phi ( s ) = \phi ( s ) *' \phi ( e ) = \phi ( s ) $$ 따라서 $\phi(e)$ 는 $S'$ 의 항등원이다.

같이보기


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p29. ↩︎

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