라돈 역변환

라돈 역변환

정리

$f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$에 대해서 다음의 식이 성립한다.

$$ f(x,y)=\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S|\mathcal{F} (\mathcal{R}f) (S,\ \theta) \Big]\right\} (x,y) $$

설명

The filtered back projection formular 이라고도 한다.

$f$의 라돈변환 $\mathcal{R}f$가 주어졌을 때, 푸리에 변환백 프로젝션을 사용하여 $f$를 얻을 수 있다는 말이다. 즉 라돈 변환에 푸리에 변환을 취하고, $|S|$를 곱한 뒤 다시 푸리에 역 변환을 취하고, 백 프로젝션을 취하는 것이 라돈 역 변환inverse Radon transform이라는 말이다.

증명

푸리에 역변환 정리에 의해 다음이 성립한다.

$$ f(x,y)={\mathcal{F}_2}^{-1}\mathcal{F}_2 f(x,y) $$

이때 $\mathcal{F}_2$는 2차원 푸리에 변환이다. 푸리에 역변환의 정의에 따라 위 식의 우변은 다음과 같다.

$$ \dfrac{1}{4\pi^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}_2f(X,Y)e^{i(xX+yY)}dXdY $$

직교 좌표 $(X,Y)$를 극좌표 $(S,\theta)$로 나타내자. 그러면 $X=S\cos\theta$, $Y=S\sin\theta$이다. 그리고 다음이 성립한다.

$$ \begin{vmatrix} \frac{\partial X}{\partial S} & \frac{\partial X}{\partial \theta} \\ \frac{\partial Y}{\partial S} & \frac{\partial Y}{\partial \theta} \end{vmatrix} =|S| $$

따라서 $dXdY=|S|dSd\theta$이고, 위 적분을 극좌표로 나타내면 다음과 같다.

$$ \dfrac{1}{4\pi^2} \int_{0}^{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}_2f(S\cos\theta,S\sin\theta)e^{iS(x\cos\theta+y\sin\theta)}|S|dSd\theta $$

푸리에 슬라이스 정리

$$ \mathcal{F}_2 f(S \cos\theta,\ S \sin\theta)=\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S ,\ \theta) $$

그러면 푸리에 슬라이스 정리에 의해 위 식은 다음과 같다.

$$ \dfrac{1}{2\pi}{\color{blue}\dfrac{1}{2\pi}} \int_{0}^{\pi} {\color{blue}\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S, \ \theta)e^{iS(x\cos\theta+y\sin\theta)}|S|dS}d\theta $$

파란색으로 칠한 부분은 푸리에 역변환의 정의에 의해서 다음과 같다.

$$ \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} {\color{blue} \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S| \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) \Big] (x\cos\theta+y\sin\theta,\ \theta) } d\theta $$

백 프로젝션

$$ \mathcal{B}f(x,y) := \int_0^\pi f(x\cos\theta+y\sin\theta,\ \theta) d\theta $$

그리고 위 식은 백 프로젝션의 정의에 의해 다음과 같다.

$$ \dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S|\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) \Big]\right\} (x,y) $$

따라서 다음을 얻는다.

$$ f(x,y)= \dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S|\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) \Big]\right\} (x,y) $$

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