역문제란?

역문제란?

Inverse Problem and Forward Problem

정의

수식으로 표현되는 물리 현상이 있을 때, 원인에 따라 수식을 풀어 결과에 대한 정보를 찾는 과정을 정문제direct problem 혹은 전방문제forward problem이라고 한다.

반대로, 결과에 대한 정보로부터 원인에 대한 정보를 구하는 과정을 역문제inverse problem라고 한다.

설명

많은 문제가 정문제이며, 예를들어 초기 속도가 $v_{0}$인 물체가 $\theta$의 발사각도로 포물선 운동을 할 때 수평도달거리 구하기같은 것들이 있다. 여기서 역문제는 수평도달거리를 알 때, 초기속도와 발사각도를 구하는 것이 된다.

미분 방정식

다음과 같은 파동 방정식 의 초기값 문제를 생각해보자.

$$ \begin{cases} \Delta u - u_{tt} = 0 &\text{in } \mathbb{R}^{n} \times (0, \infty) \\ u = f, u_{t} = 0 &\text{on } \mathbb{R}^{n} \times \left\{ t=0 \right\} \end{cases} $$

여기서 초기값 문제를 푸는 것, 그러니까 초기값 $f$가 주어져있을 때의 솔루션 $y$를 구하는 것이 정문제이다. 반대로 어떤 솔루션 $y$가 주어졌다고 할 때, 초기값 $f$를 구하는 것이 역문제이다.

만약 초기값 $f$에 따라서 솔루션 $y$가 유일하게 결정되면, 위의 초기값 문제 자체를 하나의 작용소로 보고 $W f = y$와 같이 표현할 수 있다. 그러면 주어진 파동방정식의 역문제를 푼다는 것은 $f = W^{-1}y$를 만족하는 역작용소 $W^{-1}$를 구하는 것과 같다. 그러면 솔루션 $y$를 알 때마다 초기값 $f$를 구할 수 있게된다.

적분 방정식

$$ a = \int_{x_{0}}^{x_{1}} f(x)dx $$

위와 같은 적분식에서 함수 $f$가 주어질 때 마다 정적분 $a$를 계산하는 것이 정문제이다. 반대로 적분값 $a$가 주어져있을 때 위 식을 만족하는 함수 $f$를 찾는 것이 역문제이다. 보면 알겠지만 적분방정식은 풀기 상당히 어렵다.

소리를 듣고 북의 모양을 알 수 있는가?

유명한 예로 수학자 Mark Kac이 1966년에 발표한 논문 Can One Hear the Shape of a Drum?에서 다루는 주제인, 소리로부터 북의 모양을 맞추는 문제가 있다. 북의 모양을 원인(초기값)이라고 한다면, 소리가 결과(솔루션)이므로 북의 소리를 듣고 모양을 알아내는 것은 역문제라고 할 수 있다.

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