선형변환의 역 📂선형대수

선형변환의 역

Inverse of Linear Transform

정의1

$V, W$를 벡터공간, $T : V \to W$를 선형변환이라고 하자. 선형변환 $U : W \to V$가 다음을 만족하면, $U$를 $T$의 inverse of $T$ 혹은 역변환이라 한다.

$$ TU = I_{W} \quad \text{and} \quad UT = I_{V} $$

$TU$는 $U$와 $T$의 합성, $I_{X} : X \to X$는 항등변환이다. 만약 $T$가 역변환을 가지면, $T$를 가역invertible변환이라 한다. $T$가 가역이면 역변환 $U$는 유일하고, $T^{-1} = U$로 표기한다.

설명

정의에 의해 가역변환인 것은 전단사 함수인 것과 같다.

성질

(a) $(TU)^{-1} = U^{-1}T^{-1}$

(b) $(T^{-1})^{-1} = T$

(c) $T : V \to W$가 선형변환이고 $V, W$가 같은 차원의 유한차원 벡터공간이면,

$$ \rank (T) = \dim (V) $$

$\rank (T)$는 $T$의 랭크이다.

(d) 선형변환 $T : V \to W$의 역 $T^{-1} : W \to V$도 선형변환이다.

(e) 가역선형변환 $T : V \to W$에 대해서, $V$가 유한차원인 것의 필요충분조건은 $W$가 유한차원인 것이다. 이 경우 $\dim(V) = \dim(W)$가 성립한다.

(f) $T$가 가역인 것은 $[T]_{\beta}^{\gamma}$가 가역인 것과 동치이다. 더하여 $[T^{-1}]_{\beta}^{\gamma} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{-1}$이다. 이때 $[T]_{\beta}^{\gamma}$는 $T$의 행렬표현이다.

증명

(d)

$\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \in V$이고 $k$를 임의의 상수라고 하자. 그러면 $T$가 선형이므로 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} T^{-1} \left( T(\mathbf{x}_{1}) + k T(\mathbf{x}_{2}) \right) &= T^{-1} \left( T(\mathbf{x}_{1} + k \mathbf{x}_{2}) \right) \\ &= \mathbf{x}_{1} + k \mathbf{x}_{2} \\ &= T^{-1}\left( T(\mathbf{x}_{1}) \right) + kT^{-1}\left( T(\mathbf{x}_{2}) \right) \end{align*} $$

(e)2

$V$가 유한차원이고 $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$가 $V$의 기저라고 하자. 그러면 $T(\beta)$는 치역 $R(T)=W$를 생성한다.

$$ \span (T(\beta)) = R(T) = W $$

따라서 $W$는 유한차원이다. 반대도 마찬가지로 성립한다.

이제 $V, W$가 유한차원이라고 가정하자. $T$가 일대일이고 전사이므로,

$$ \nullity (T) = 0 \quad \text{and} \quad \rank(T) = \dim(R(T)) = \dim(W) $$

차원정리에 의해,

$$ \dim(V) = \rank(T) + \nullity(T) = \dim(W) $$

(f)2

$(\Longrightarrow)$

$T : V \to W$가 가역이라고 가정하자. 그러면 (e)에 의해 $\dim(V) = n = \dim(W)$이다. 그러면 $[T]_{\beta}^{\gamma}$는 $n \times n$ 행렬이다. $T$의 역 $T^{-1}$에 대해서 $T^{-1}T = I_{V}, TT^{-1} = I_{W}$이므로,

$I_{n} = [I_{V}]_{\beta} = \href{../3074}{[T^{-1}T]_{\beta} = {[T^{-1}]_{\gamma}^{\beta}[T]_{\beta}^{\gamma}}}$

마찬가지로 $I_{n} = [I_{W}]_{\beta} = [TT^{-1}]_{\beta} = [T]_{\beta}^{\gamma}[T^{-1}]_{\gamma}^{\beta}$가 성립한다. 따라서 $[T]_{\beta}^{\gamma}$는 가역행렬이고, 역행렬은 $([T]_{\beta}^{\gamma})^{-1} = [T^{-1}]_{\gamma}^{\beta}$이다.

$(\Longleftarrow)$

$A = [T]_{\beta}^{\gamma}$가 가역행렬이라 가정하자. 그러면 $AB = BA = I$를 만족하는 $n \times n$ 행렬 $B$가 존재한다. 그러면 다음과 같이 정의되는 선형변환 $U : W \to V$가 유일하게 존재한다.

$$ U(\mathbf{w}_{j}) = \sum_{i=1}^{n}B_{ij}\mathbf{v}_{i} \quad \for j = 1,\dots,n $$

이때 $\gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{n} \right\}, \beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$이다. 그러면 $U$의 행렬표현은 $[U]_{\gamma}^{\beta} = B$이다. 그러면 다음이 성립한다.

$$ [UT]_{\beta} = [U]_{\gamma}^{\beta} [T]_{\gamma}^{\beta} = BA = I_{n} = [I_{V}]_{\beta} $$

따라서 $UT = I_{V}$이며, 비슷하게 $TU = I_{W}$가 성립한다. 따라서 $T$는 가역변환이다.


  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p99-100 ↩︎

  2. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p101 ↩︎ ↩︎

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