F(as+b)의 라플라스 역변환

F(as+b)의 라플라스 역변환

공식1

함수 $f(t)$의 라플라스 변환 $\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}= \displaystyle \int _0 ^\infty e^{-st}f(t)dt =F(s)$가 $s>\alpha \ge 0$일 때 존재한다고 가정하자. 그러면 상수 $a>0 , b$에 대해서 $F(as+b)$의 라플라스 역변환은 다음과 같다.

$$ \mathcal{L^{-1}} \left\{ F(as+b) \right\} =\frac{1}{a}e^{-\frac{b}{a}t}f\left(\frac{t}{a}\right) $$

유도

1

  1. $F(ks)$의 라플라스 역변환: $$ \mathcal{L^{-1}} \left\{ F(ks) \right\} =\dfrac{1}{k}f\left(\frac{t}{k}\right) $$
  2. 라플라스 변환의 평행이동: $$ \mathcal{L^{-1}} \left\{ F(s-c) \right\}=e^{ct}f(t) $$

1. 에 의해서 다음을 얻는다.

$$ \mathcal{L^{-1}} \left\{ F(as) \right\} =\frac{1}{a}f\left(\frac{t}{a}\right) $$

$F(as)$에서 $F(as+b)$를 이끌어 내려면 $s$ $\to$ $s+\frac{b}{a}$이면 된다. 즉 $F$가 $s$방향으로 $-\frac{b}{a}$만큼 평행이동 하면 된다. 2. 에 의해서 평행이동된 $F$를 구하면

$$ \begin{align*} && \mathcal{L^{-1}} \left\{ F\left( a(s+\frac{b}{a}) \right) \right\} &= \frac{1}{a} e^{-\frac{b}{a}t}f\left(\frac{t}{a}\right) \\ \implies && \mathcal{L^{-1}} \left\{ F( as+b) \right\} &= \frac{1}{a} e^{-\frac{b}{a}t}f\left(\frac{t}{a}\right) \end{align*} $$


2

라플라스 변환의 정의에 의해서,

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ \frac{1}{a} e^{-\frac{b}{a}t} f\left( \frac{t}{a} \right) \right\} &= \dfrac{1}{a}\int _0 ^\infty e^{-st}e^{-\frac{b}{a}t}f \left( \frac{t}{a} \right) dt \\ &= \dfrac{1}{a}\int _0 ^\infty e^{-\left(s+\frac{b}{a}\right)t}f \left( \frac{t}{a} \right) dt \end{align*} $$

$\dfrac{t}{a}=\tau$라고 치환하자. 그러면 $\left(s+\frac{b}{a}\right)t=(as+b)\tau$이고, $dt=ad\tau$이므로

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ \frac{1}{a} e^{-\frac{b}{a}t} f\left( \frac{t}{a} \right) \right\} &= \dfrac{1}{a}\int _0 ^\infty e^{-\left(s+\frac{b}{a}\right)t}f \left( \frac{t}{a} \right) dt \\ &= \int _0 ^\infty e^ {-(as+b)\tau}f (\tau) d\tau \\ &= F(as+b) \end{align*} $$

같이보기


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p263 ↩︎

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