F(ks)의 라플라스 역변환

F(ks)의 라플라스 역변환

Inverse Laplace Transform of Dilation F(ks)

공식1

함수 $f(t)$의 라플라스 변환 $\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = \displaystyle \int _0 ^\infty e^{-st}f(t)dt = F(s)$가 $s>a \ge 0$일 때 존재한다고 가정하자. 그러면 양수 $k> 0$에 대해서 $F(ks)$의 라플라스 역변환은 다음과 같다.

$$ \mathcal{L^{-1}} \left\{ F(ks) \right\} =\dfrac{1}{k}f\left(\frac{t}{k}\right),\quad s>\frac{a}{k} $$

유도

1

$f(ct)$의 라플라스 변환

$$ \mathcal{L} \left\{ f(ct) \right\} =\dfrac{1}{c}F\left(\dfrac{s}{c}\right), \quad s>ca $$

위 식에서 $c$대신 $\dfrac{1}{k}$를 대입하면

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f\left(\frac{t}{k}\right) \right\} &= kF(ks) \\ \implies F(ks) &= \dfrac{1}{k} \mathcal{L} \left\{ f\left(\frac{t}{k}\right) \right\} =\mathcal{L} \left\{\dfrac{1}{k} f\left(\frac{t}{k}\right) \right\} \end{align*} $$

따라서

$$ \mathcal{L^{-1}} \left\{ F(ks) \right\} =\dfrac{1}{k}f\left(\frac{t}{k}\right) $$

$c$일 때의 조건이 $s>ca$ 였으므로, 조건이 $s>\dfrac{a}{k}$로 자연스레 바뀐다.

2

라플라스 변환의 정의에 의해서,

$$ \mathcal{L} \left\{ \frac{1}{k} f\left( \frac{t}{k} \right) \right\} =\dfrac{1}{k}\int _0 ^\infty e^{-st}f \left( \frac{t}{k} \right) dt $$

여기서 $\dfrac{t}{k}=\tau$라고 치환하자. 그러면 $st=sk\tau$이고, $dt=kd\tau$이므로

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ \frac{1}{k} f\left( \frac{t}{k} \right) \right\} &=\int _0 ^\infty e^{-sk\tau}f \left(\tau \right) d\tau \\ &= F(ks) \end{align*} $$

같이보기


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p263 ↩︎

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