르벡공간에서 인터폴레이션 부등식

르벡공간에서 인터폴레이션 부등식

정리1

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. $1 \le p \lt q\lt r \le \infty$가 $0 \lt \theta \lt 1$인 어떤 $\theta$에 대해서 아래의 식을 만족한다고 하자.

$$ \dfrac{1}{q} = \frac{\theta}{p} + \frac{1-\theta}{r} $$

$u \in L^p(\Omega) \cap L^r(\Omega)$라고 가정하자. 그러면 $u\in L^{q}(\Omega)$이고 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \left\| u \right\|_{q} \le \left\| u \right\|_{p}^{\theta} \left\| u \right\|_{r}^{1-\theta} $$

이를 인터폴레이션 부등식interpolation inequality이라 한다.

설명

interpolation을 번역하면 보간으로, 비어있는 곳을 메꾼다는 의미를 가지고 있다.

1보다 크거나 같은 $p, r$에 대해서 $u\in L^{p}$이고 $u\in L^{r}$이면 $p$와 $r$사이에 있는 모든 $q$에 대해서 $u\in L^q$임이 보장된다.

증명

우선 주어진 가정의 양변에 $q$를 곱하면

$$ \begin{align*} && 1 =&\ \dfrac{ \theta q}{p}+\dfrac{(1-\theta) q}{r} \\ \implies && 1 =&\ \dfrac{1}{\frac{p}{\theta q}}+\dfrac{1}{\frac{r}{(1-\theta)q}} \end{align*} $$

따라서 $\dfrac{1}{\frac{p}{\theta q}}$와 $\dfrac{1}{\frac{r}{(1-\theta)q}}$는 횔더 부등식을 만족시키는 켤레 지수이다. 이제 각각을 다음과 같이 두자.

$$ s=\dfrac{p}{q\theta} \quad \text{and} \quad s^{\prime}=\dfrac{r}{(1-\theta)q} $$

횔더 부등식

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1$인 $1 \le p, p^{\prime} < \infty$에 대해서, 만약 $u \in L^p(\Omega)$, $v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$이면

$$ \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} $$


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p27 ↩︎

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