르벡공간에서 인터폴레이션 부등식

르벡공간에서 인터폴레이션 부등식

Interpolation Inequality in Lebesgue Space

정리1

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. $1 \le p \lt q\lt r \le \infty$가 $0 \lt \theta \lt 1$인 어떤 $\theta$에 대해서 아래의 식을 만족한다고 하자.

$$ \dfrac{1}{q} = \frac{\theta}{p} + \frac{1-\theta}{r} $$

$u \in L^p(\Omega) \cap L^r(\Omega)$라고 가정하자. 그러면 $u\in L^{q}(\Omega)$이고 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \left\| u \right\|_{q} \le \left\| u \right\|_{p}^{\theta} \left\| u \right\|_{r}^{1-\theta} $$

이를 인터폴레이션 부등식interpolation inequality이라 한다.

설명

interpolation을 번역하면 보간으로, 비어있는 곳을 메꾼다는 의미를 가지고 있다.

1보다 크거나 같은 $p, r$에 대해서 $u\in L^{p}$이고 $u\in L^{r}$이면 $p$와 $r$사이에 있는 모든 $q$에 대해서 $u\in L^q$임이 보장된다.

증명

우선 주어진 가정의 양변에 $q$를 곱하면

$$ \begin{align*} && 1 =&\ \dfrac{ \theta q}{p}+\dfrac{(1-\theta) q}{r} \\ \implies && 1 =&\ \dfrac{1}{\frac{p}{\theta q}}+\dfrac{1}{\frac{r}{(1-\theta)q}} \end{align*} $$

따라서 $\dfrac{1}{\frac{p}{\theta q}}$와 $\dfrac{1}{\frac{r}{(1-\theta)q}}$는 횔더 부등식을 만족시키는 켤레 지수이다. 이제 각각을 다음과 같이 두자.

$$ s=\dfrac{p}{q\theta} \quad \text{and} \quad s^{\prime}=\dfrac{r}{(1-\theta)q} $$

횔더 부등식

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1$인 $1 \le p, p^{\prime} < \infty$에 대해서, 만약 $u \in L^p(\Omega)$, $v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$이면

$$ \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} $$

  • Case 1. $r \lt \infty$

    $|u|^{\theta q} \in L^{s}$이고 $|u|^{q(1-\theta)} \in L^{s^{\prime}}$임을 확인할 수 있다.

    $$ \left\| u^{\theta q} \right\|_{s}^{s} = \int_{\Omega} \left( |u(x)|^{q\theta} \right)^{s} dx = \int_{\Omega} |u(x)|^p dx \lt \infty $$

    $$ \left\| u^{q(1-\theta)} \right\|_{s^{\prime}}^{s^{\prime}}=\int_{\Omega} \left( |u(x)|^{q(1-\theta)} \right)^{s^{\prime}} dx=\int_{\Omega} |u(x)|^r dx \lt\infty $$

    따라서 횔더 부등식을 쓸수 있다. $\left\| u \right\|_{q}^{q}$를 계산해보면

    $$ \begin{align*} \left\| u \right\|_{q}^{q} =&\ \int_{\Omega} |u(x)|^{q} dx \\ =&\ \int_{\Omega} |u(x)|^{\theta q} |u(x)|^{(1-\theta)q} dx \\ \le& \left\| u^{\theta q} \right\|_{s} \left\| u^{(1-\theta)q} \right\|_{s^{\prime}} \quad \text{by Hoelder’s inequality} \\ =&\ \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{\theta q s } dx \right)^{1/s} \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{(1-\theta) q s^{\prime} } dx \right)^{1/s^{\prime}} \\ =&\ \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{p} dx \right)^{\frac{1}{p}q\theta} \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{r} dx \right)^{\frac{1}{r}(1-\theta)q} \\ =&\ \| u \|_{p}^{\theta q} \left\| u \right\|_{r}^{(1-\theta)q} \end{align*} $$

    양변의 지수에 $\dfrac{1}{q}$를 곱해주면

    $$ \left\| u \right\|_{q} \le \left\| u \right\|_{p}^{\theta} \left\| u \right\|_{r}^{1-\theta} $$

  • Case 2. $r = \infty$

    가정의 조건이 $\dfrac{1}{q} = \dfrac{\theta}{p}$인 경우이다. 위와 마찬가지로 $s=\frac{p}{\theta q}=1$라고 두면 $s^{\prime}=\infty$이고 $1=\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime}}$를 만족하고 $|u|^{\theta q} \in L^s=L^1$이고 $|u|^{(1-\theta)q} \in L^{s^{\prime}}=L^{\infty}$이다.

    $$ \left\| u^{\theta q} \right\|_{1}=\int_{\Omega} |u(x)|^{q\theta} dx=\int_{\Omega} |u(x)|^p dx \lt\infty $$

    $u\in L^{\infty}$이면 임의의 양수 $k$에 대해서 $|u|^k \in L^{\infty}$가 성립하는 것은 $| \cdot|_\infty$의 정의에 의해서 쉽게 알 수 있다. $(1-\theta)\gt 0$이므로 $|u|^{(1-\theta)q} \in L^{\infty}$이다. 따라서 횔더 부등식을 쓰면

    $$ \begin{align*} \left\| u \right\|_{q}^{q} =&\ \int_{\Omega} |u|^q dx \\ =&\ \int_{\Omega} |u|^{\theta q} |u|^{(1-\theta)q}dx \\ \le& \left\| u^{\theta q} \right\|_{1} \left\| u^{(1-\theta)q} \right\|_{\infty} \\ =&\ \left( \int_{\Omega} |u|^{\theta q} dx \right)^{1} \left\| u^{(1-\theta)q} \right\|_{\infty} \\ =&\ \left( \int_{\Omega} |u|^{p} dx \right)^{\frac{1}{p}q\theta} \left\| u^{(1-\theta)q} \right\|_{\infty} \\ =&\ \| u \|_{p}^{\theta q} \left\| u^{(1-\theta)q} \right\|_{\infty} \\ =&\ \| u \|_{p}^{\theta q}\ \left\| u \right\|_{\infty}^{(1-\theta)q} \end{align*} $$

    세번째 줄은 횔더 부등식을 사용하면 성립한다. 마지막줄은 $\left\| \cdot \right\| _{\infty}$의 성질에 의해서 성립한다. 따라서

    $$ \left\| u \right\|_{q} \le \| u \|_{p}^{\theta } \left\| u \right\|_{\infty}^{(1-\theta)}= \| u \|_{p}^{\theta }\ |u|_{r}^{(1-\theta)} $$


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p27 ↩︎

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