벡터값 함수의 적분

벡터값 함수의 적분

정의1

$f_{1}$, $f_{2}$, $\dots$, $f_{k}$가 구간 $[a,b]$위에서 실수값을 갖는 함수라고 하자. 그리고 $\mathbf{f} : [a,b] \to \mathbb{R}^{k}$가 다음과 같다고 하자.

$$ \mathbf{f}(x)=\left( f_{1}(x),\dots,f_{k}(x) \right),\quad x\in [a,b] $$

이때 각각의 $f_{k}$가 구간 $[a,b]$에서 적분가능하면, $\mathbf{f}$의 적분을 다음과 같이 정의한다.

$$ \int _{a} ^{b} \mathbf{f}dx = \left( \int _{a} ^{b}f_{1} dx, \dots, \int _{a} ^{b}f_{k} dx \right) $$

정리

기존에 $f : [a,b]\to \mathbb{R}$인 함수에 대해서 정리했던 내용들이 그대로 성립한다.

미분적분학의 기본정리2

벡터값 함수 $\mathbf{f}, \mathbf{F} : [a,b] \to \mathbb{R}^{k}$에 대해서 $\mathbf{f}$가 적분가능하고, $\mathbf{F}'=\mathbf{f}$가 성립한다고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$ \int _{a} ^{b} \mathbf{f}(t)dt = \mathbf{F}(b)-\mathbf{F}(a) $$

적분의 절댓값이 절댓값의 적분보다 작다

$$ \begin{equation} \left| \int _{a} ^{b} \mathbf{f}dx \right| \le \int _{a} ^{b} \left| \mathbf{f} \right| dx \label{eq1} \end{equation} $$

증명

$\mathbf{f}=\left( f_{1},\dots,f_{k} \right)$라고 하면 다음이 성립한다.

$$ \left| \mathbf{f} \right| =\left( f_{1}^{2}+\cdots +f_{k}^{2} \right)^{1/2} $$

적분은 선형이고, 함수의 곱은 적분가능성을 보존하므로 각각의 $f_{i}^{2}$와 이들의 합도 적분 가능하다. 또한 $x^{2}$이 컴팩트 셋 $[a,b]$에서 연속이므로 $x^{1/2}$도 연속이고, 연속이므로 적분가능하다. 연속함수와의 합성은 적분가능성은 보존하므로 다음이 성립한다. $\left| \mathbf{f} \right|$는 적분가능하다.

$\eqref{eq1}$을 보이기 위해서 다음과 같이 두자.

$$ \mathbf{y} = \left( y_{1},\dots,y_{k} \right) \quad \text{and} \quad y_{i}=\int f_{i}dx $$

그러면 다음이 성립한다.

$$ \mathbf{y} = \left( y_{1},\dots,y_{k} \right) = \left( \int f_{i}dx, \dots, \int f_{k}dx \right) = \int \mathbf{f}dx $$

또한 다음을 얻는다.

$$ \left| \mathbf{y} \right| ^{2} = \sum \limits _{i=1} ^{k}y_{i}^{2} = \sum \limits _{i=1} ^{k}y_{i}\int f_{i}dx = \int \left( \sum \limits _{i=1} ^{k}y_{i}f_{i} \right) dx $$

그러면 코시-슈바르츠 부등식에 의해 다음이 성립한다.

$$ \sum \limits _{i=1} ^{n} y_{i}f_{i}(t) \le \left| \mathbf{y} \right| \left| \mathbf{f}(t) \right|, \quad a\le t \le b $$

그러면 $\left| \mathbf{y} \right| \ne 0$일 때 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} && \left| \mathbf{y} \right| ^{2}\le \int \left| \mathbf{y} \right| \left| \mathbf{f} \right| dx \\ \implies && \left| \mathbf{y} \right| \le \int \left| \mathbf{f} \right|dx \\ \implies && \left| \int \mathbf{f}dx \right| \le \int \left| \mathbf{f} \right|dx \end{align*} $$

물론 $\left| \mathbf{y} \right| =0$일 땐 자명하게 성립한다.


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p135-136 ↩︎

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