자연로그의 거듭제곱의 적분법

자연로그의 거듭제곱의 적분법

공식

$$ \int {{(\ln x)}^{ n }} dx=x{{(\ln x)}^{ n }}-\int n{{(\ln x)}^{ n-1 }}dx $$

설명

적분 문제를 풀다보면 심심치 않게 보게 되는 유형이다. 이런 문제들을 풀 때 정직하게 부분적분으로 풀면 시간을 너무 많이 빼앗긴다. 우선은 규칙부터 찾아보도록 하자. $f(n)=\int {{(\ln x)}^{ n }} dx$ (단, $n=1,2,3…$)이라 할 때

$$ \begin{align*} f(1) =& x(\ln|x|-1)+C \\ f(2) =& x{(\ln|x|)^{ 2 }-2\ln|x|+2}+C \\ f(3) =& x{(\ln|x|)^{ 3 }-3(\ln|x|)^{ 2 }+6\ln|x|-6}+C \\ f(4) =& x{(\ln|x|)^{ 4 }-4(\ln|x|)^{ 3 }+12(\ln|x|)^{ 2 }-24\ln|x|+24}+C \end{align*} $$

네제곱까지 적분을 한 결과를 보면 어떤 규칙이 보인다. $f(n)$에서 $x(\ln|x|)^{ n } $만 제외하고 보면 $f(n-1)$에서 적분상수를 떼고 $-n$곱을 하고 있다.

$$ f(1)=x(\ln|x|-1)+C $$

$\downarrow \ln|x|-1$ 에 $-2$ 를 곱한다.

$$ f(2)=x{(\ln|x|)^{ 2 }-2\ln|x|+2}+C $$

$\downarrow –2\ln|x|+2$ 에 $-3$ 을 곱한다

$$ f(3)=x{(\ln|x|)^{ 3 }-3(\ln|x|)^{ 2 }+6\ln|x|-6}+C $$

$\downarrow -3(\ln|x|)^{ 2 }+6\ln|x|-6$ 에 $-4$ 를 곱한다.

$$ f(4)=x{(\ln|x|)^{ 4 }-4(\ln|x|)^{ 3 }+12(\ln|x|)^{ 2 }-24\ln|x|+24}+C $$

위의 과정을 $n$ 에 대해 일반화하면

$$ \int {{(\ln x)}^{ n }} dx=x{{(\ln x)}^{ n }}-\int n{{(\ln x)}^{ n-1 }}dx $$

식을 보면 알겠지만 차수만 보고 바로 줄줄 쓰는 건 어렵기 때문에 2차 혹은 3차까지는 아예 외워두는 게 좋다.

참고

자연로그와 e의 거듭제곱은 서로 밀접한 관련이 있어 여기저기서 모양이 비슷한 경우가 많다.

$$ \int x^{ n }e^{ x }dx=x^{ n }e^{ x }-\int nx^{ n-1 }e^{ x }dx $$

여기서 소개된 차수와 달라지는 것은 $x$ 의 차수 뿐이다.

$$ \int { \lambda x { e }^{ \lambda x }dx }=\left( x-\frac { 1 }{ \lambda } \right) {e}^{ \lambda x }+c $$

$n=1$ 이고 $x$ 가 상수배일 경우도 생각보다 자주 쓰인다. 꼭 저런 모양이 아니더라도 적절하게 변형한 후 공식을 적용시키면 풀이가 한결 쉬워진다.

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