부분적분법 📂해석개론

부분적분법

integration by parts

정리 1

$F$, $G$가 구간 $[a,b]$에서 미분가능하고, $F'=f$, $G'=g$가 적분가능하다고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \int _{a} ^{b} F(x)g(x)dx &= F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int _{a} ^{b}f(x)G(x)dx \\ &= \left[ F(x)G(x) \right]_{a}^{b} -\int _{a} ^{b}f(x)G(x)dx \end{align*} $$

설명

이 결과를 부분적분법이라 부른다. 그적미적[분]- $\int$ 으로 외우면 쉽다. 적분할 것은 양쪽에 그대로 적고, 미분할 것은 앞쪽에는 그냥 적고 뒷쪽에는 미분해서 적는다.

$$ \begin{align*} \int Fg &= \left[ FG \right] - \int fG \\ &= \left[ \text{그냥}\cdot\text{적분} \right] - \int \text{미분}\cdot\text{적분} \end{align*} $$

증명

미분가능하면 연속이고, 연속이면 적분가능하므로 $F, G$도 적분 가능하다. 이제 $H(x)=F(x)G(x)$라고 하자. 그러면 곱의 미분법에 의해 다음이 성립한다.

$$ H'(x)=F(x)g(x)+f(x)G(x) $$

적분은 선형이고, 함수의 곱은 적분가능성을 보존하므로, $H'$는 적분가능하다. 그러면 미분적분학의 기본정리2에 의해서 $H'$의 정적분은 다음과 같이 계산된다.

$$ \begin{align*} && \int _{a} ^{b}H'(x)dx &= H(b)-H(a) \\ \implies && \int _{a} ^{b}H'(x)dx &= F(b)G(b)-F(a)G(a) \\ \implies && \int _{a} ^{b}F(x)g(x) + f(x)G(x) dx &= F(b)G(b)-F(a)G(a) \\ \implies && \int _{a} ^{b}F(x)g(x)dx &=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int _{a} ^{b}f(x)G(x) \end{align*} $$


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p134 ↩︎

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