적분 변환이란

적분 변환이란

정의

함수공간에서 함수공간으로의 매핑 $J$가 아래와 같이 적분으로 정의되면 $J$를 적분변환integral transform이라 한다.

$$ (Jf) (s) = \int_{a}^{b} K(x,t)f(t)dt $$

이때 $K$를 $J$의 커널kernel이라 한다. $Jf$를 다시 $f$로 매핑하는 함수가 존재하면 이를 $J^{-1}$로 표기하고 역변환inverse transform이라 한다.

설명

적분 영역이 꼭 유계여야할 필요는 없다. $a=-\infty$이거나 $b=\infty$이거나 둘 다여도 무관하다. 적분 변환은 위 정의에 따라 아무렇게나 만들어도 상관 없지만 제대로된 의미를 지니려면 주어진 문제를 $f$로 푸는 것보다 $Jf$로 푸는 것이 더 쉽거나, 역변환이 존재하여 $Jf$와 $f$를 자유자제로 바뀔 수 있어야 한다. 적분 변환의 예로 다음과 같은 것들이 있다.

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