적분 변환이란

적분 변환이란

integral transform

정의

함수공간에서 함수공간으로의 매핑 $J$가 아래와 같이 적분으로 정의되면 $J$를 적분변환integral transform이라 한다.

$$ (Jf) (s) = \int_{a}^{b} K(x,t)f(t)dt $$

이때 $K$를 $J$의 커널kernel이라 한다. $Jf$를 다시 $f$로 매핑하는 함수가 존재하면 이를 $J^{-1}$로 표기하고 역변환inverse transform이라 한다.

설명

적분 영역이 꼭 유계여야할 필요는 없다. $a=-\infty$이거나 $b=\infty$이거나 둘 다여도 무관하다. 적분 변환은 위 정의에 따라 아무렇게나 만들어도 상관 없지만 제대로된 의미를 지니려면 주어진 문제를 $f$로 푸는 것보다 $Jf$로 푸는 것이 더 쉽거나, 역변환이 존재하여 $Jf$와 $f$를 자유자제로 바뀔 수 있어야 한다. 적분 변환의 예로 다음과 같은 것들이 있다.

  • 푸리에 변환 $\mathcal{F}$

    $$ \mathcal{F}f(\xi)=\int _{-\infty} ^{\infty} f(x)e^{i \xi x}dx,\quad K(x,\xi)=e^{i\xi x} $$

  • 라플라스 변환 $\mathcal{L}$

    $$ \mathcal{L}f(s)=\int _{0} ^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\quad K(t,s)=e^{-st} $$

  • 멜린 변환 $\mathcal{M}$

    $$ \mathcal{M}f(s)=\int_{0}^{\infty} f(x)x^{s-1}dx,\quad K(x,s)=x^{s-1} $$

  • 라돈 변환 $\mathcal{R}$

    $$ \mathcal{R}f(s,\theta)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s\cos\theta-t\sin\theta, s\sin\theta+t\cos\theta)dt $$

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