복소함수의 적분

복소함수의 적분

정의 1

$$ g(t) := p(t) + i q(t) \qquad , t \in [a,b] $$

실함수 $p, q : [a,b] \to \mathbb{R}$ 에 대해 복소함수 $g : [a,b] \to \mathbb{C}$ 가 위와 같이 나타난다고 하자. 구간 $[a,b]$ 에서 $g$ 의 정적분은 다음과 같이 정의된다. $$ \int_{a}^{b} g(t) dt = \int_{a}^{b} p(t) dt + i \int_{a}^{b} q(t) dt $$ $t \in [a,b]$ 에 대해 경로 $\mathscr{C} : z(t) = x(t) + i y(t)$ 을 따르는 복소경로적분을 다음과 같이 정의한다. $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{a}^{b} f \left( z(t) \right) z'(t) dt $$

설명

Arc 혹은 커브Curve $\mathscr{C} : z(t)$ 의 정의가 기하학에서는 중요하겠지만 복소해석 자체에서는 그다지 정확하게 할 이유가 없으니 조금 무시하고 넘어가도록 하자. 제대로 공부하고 싶으면 아래의 설명들에 집착하기 보다는 아예 미분기하 등에서 제대로 커브를 공부하든가 하고, 당장 눈앞에 있는 $\mathscr{C}$ 에 대해서는 직관적으로 개념만 받아들이고 넘어가도 충분하다.

다시 한 번 강조한다. 훌륭한 수학도라면 위의 설명들이 마음에 들지 않겠지만, 넘어가라. 다음의 성질들을 직관적으로 받아들일 수가 있는지가 훨씬 중요하다.

기초 성질

$f,g$ 가 $\mathscr{C}$ 에서 조각마다 연속이라고 하자.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p69~71. ↩︎

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