적분 가능한 함수와 절댓값

적분 가능한 함수와 절댓값

integrable functions and absolute values

해당 글은 리만-스틸체스 적분을 기준으로 작성되었다. $\alpha=\alpha(x)=x$로 두면 리만 적분과 같다.

정리1

함수 $f$가 구간 $[a,b]$에서 리만(-스틸체스) 적분가능하다고 하자. 그러면

  • (a) $\left|f\right|$도 $[a,b]$에서 적분 가능하다.

  • (b) 또한 아래의 부등식이 성립한다.

    $$ \left|\int_{a}^{b}fd\alpha \right| \le \int_{a}^{b}\left| f\right| d\alpha $$

증명

(a)

적분 가능성유계인 함수에 대해서 정의된다. 따라서 함수 $f$가 적분 가능하다는 가정은 $f$가 유계라는 가정을 포함한다. $f$가 유계이므로 $M, m$을 상한, 하한이라고 하자.

$$ M=\sup_{[a,b]} f \quad \text{and} \quad m= \inf_{[a,b]}f $$

그리고 $\phi (t)=\left| t \right|$라고 하자. 그러면 $\phi$는 $[m,M]$에서 연속인 함수이다. 또한 다음이 성립한다.

$$ \phi \circ f=\left| f\right| $$

연속인 함수와의 합성은 적분 가능성을 보존하므로 $|f|$는 $[a,b]$에서 적분 가능하다.

(b)

양수 $\varepsilon >0$가 주어졌다고 하자. 그러면 $\left| f\right| $가 적분가능할 필요충분조건에 의해 아래의 식을 만족하는 $[a,b]$의 분할 $P=\left\{ a=x_{0},\cdots,x_{n}=b \right\}$가 존재한다.

$$ U(P,\left| f\right|,\alpha) - L(P,\left| f\right|,\alpha) < \varepsilon $$

또한 아래의 부등식이 성립한다.

$$ U(P,\left| f \right|,\alpha) < \int_{a}^{b}\left| f \right| d\alpha +\varepsilon $$

그러면 적분상합의 정의에 의해 아래의 식이 성립한다.

$$ \int_{a}^{b} f d\alpha \le U(P,f,\alpha) \le U(P,\left| f \right|,\alpha ) <\int_{a}^{b}\left| f \right| d\alpha +\varepsilon $$

또한 $f$가 적분 가능하면 $-f$도 적분 가능하므로 다음의 식이 성립한다.

$$ -\int_{a}^{b} f d\alpha=\int_{a}^{b}(-f)d\alpha \le U(P,-f,\alpha) \le U(P,\left| f \right|,\alpha ) <\int_{a}^{b}\left| f \right| d\alpha +\varepsilon $$

그러면 $\varepsilon$는 임의의 양수이므로 아래의 두 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \int_{a}^{b}f d\alpha &\le \int _{a}^{b} \left| f \right| d\alpha \\ -\int_{a}^{b}f d\alpha &\le \int _{a}^{b} \left| f \right| d\alpha \end{align*} $$

따라서 다음을 얻는다.

$$ \left| \int_{a}^{b}fd\alpha \right| \le \int_{a}^{b}\left| f \right| d\alpha $$


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p129 ↩︎

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