행렬의 내적

행렬의 내적

inner product of matrices

정의: 두 열벡터의 내적1

크기가 $n \times 1$인 두 열벡터 $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ $\in \mathbb{R}^{n}$의 내적inner product을 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{equation} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} := \mathbf{u}^{T}\mathbf{v}=u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n} \label{EuclideanIP} \end{equation} $$

$\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ $\in \mathbb{C}^{n}$인 경우에는 다음과 같다.

$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} := \mathbf{u}^{\ast}\mathbf{v}=u^{\ast}_{1}v_{1}^{\ } + u_{2}^{\ast}v_{2}^{\ } + \cdots + u_{n}^{\ast}v_{n}^{\ } $$

이때 $\mathbf{u}$는 $\mathbf{u}$의 켤레 전치이다. 두 벡터 $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$가 다음의 식을 만족하면 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$가 직교orthogonal한다고 하고 $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$와 같이 나타낸다.

$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 $$

열벡터 $\mathbf{v}$의 norm 혹은 길이length를 다음과 같이 정의한다.

$$ \left\| \mathbf{v} \right\| := \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} $$

놈이 $1$인 벡터를 단위 벡터unit vecter라 한다. 두 벡터 $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$사이의 거리를 $d(\mathbf{u}. \mathbf{v})$와 같이 나타내고 다음과 같이 정의한다.

$$ d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) := \left\| \mathbf{u} - \mathbf{v} \right\| = \sqrt{(\mathbf{u}-\mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u}-\mathbf{v})} = \sqrt{(\mathbf{u}-\mathbf{v})^{\ast} (\mathbf{u}-\mathbf{v})} $$

설명

좌표 공간에서 두 벡터의 내적을 행렬 곱으로 다시 표현한 것과 복소수까지 확장한 것 밖에 없다. 따라서 $\eqref{EuclideanIP}$을 유클리드 내적Euclidean inner product 혹은 표준 내적standard inner product라 부른다. 그래서 내적의 표기법으로 $\cdot$을 쓰기도 하지만 일반적인 내적의 표기법은 다음과 같다.

$$ \left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle $$

정의에 의해 실수 행렬의 경우에는 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$가 성립하고, 복소수 행렬의 경우에는 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \overline{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}$가 성립한다.

내적의 핵심 개념은 ‘같은 성분끼리 곱해서 모두 더한다’인데 이를 $n\times n$ 행렬에 대해서 일반화하면 다음과 같다.

성질

$A$를 $n\times n$ 실수 행렬, $\mathbf{u},\mathbf{v}$를 $n\times 1$ 실수 행렬이라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} A \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} &= \mathbf{u} \cdot A^{T} \mathbf{v} \\ \mathbf{u} \cdot A \mathbf{v} &= A^{T} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \end{align*} $$

복소수 행렬일 경우 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} A \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} &= \mathbf{u} \cdot A^{\ast} \mathbf{v} \\ \mathbf{u} \cdot A \mathbf{v} &= A^{\ast} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \end{align*} $$

증명

네 식의 증명 방법이 같으므로 첫번째 식의 증명만 소개한다.

전치행렬의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} A \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} &= \left( A \mathbf{u} \right)^{T} \mathbf{v} \\ &= \left( \mathbf{u}^{T} A^{T} \right) \mathbf{v} \\ &= \mathbf{u}^{T} \left( A^{T} \mathbf{v} \right) \\ &= \mathbf{u} \cdot A^{T} \mathbf{v} \end{align*} $$

같이보기

내적의 일반적인 정의

놈의 일반적인 정의

거리의 일반적인 정의

내적과 놈, 거리의 관계


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p342 ↩︎

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