양자역학에서 벡터, 내적, 파동함수, 힐베르트 공간

양자역학에서 벡터, 내적, 파동함수, 힐베르트 공간

벡터의 일반화

선형대수학을 배우지 않은 이과생들에게 벡터란 크기와 방향을 가지는 물리량으로 3차원 공간의 점을 의미하며 흔히 $\vec{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$와 같이 나타낸다. 이러한 정의로 고전역학과 전자기학을 공부하는데는 큰 문제가 없을 것이다. 하지만 양자역학에서는 푸리에 해석, 함수의 내적 등과 같은 개념이 나오기 때문에 벡터의 일반화된 정의를 알지 못하면 공부하는데 큰 어려움을 겪을 수 있다.

선형대수학에서 벡터란 우리가 직관적으로 생각하는 그 벡터를 추상화시킨 것이다. 3차원 공간의 벡터와 같은 성질을 가지는 것들을 모두 벡터라 부르고, 벡터들을 모아놓은 집합을 벡터공간이라 부른다. 그 성질은 우리가 3차원 공간의 점을 생각했을 때 당연히 만족해야하는 성질들을 말한다. 가령

와 같은 것들이 있다. 그러면 당연하게도 3차원 공간의 점은 벡터가 되고, 3차원 공간은 벡터공간이 된다. 아래에는 양자역학에서 가장 중요한 두 예시를 소개한다. 행렬과 함수가 벡터라는 사실

예시

행렬

크기가 $m \times n$인 행렬들을 모아놓은 집합을 생각해보자. 이들을 더해도 여전히 $m \times n$ 행렬이고, 어떤 상수를 곱해도 여전히 $m \times n$ 행렬이므로 이 집합은 벡터공간이 되고, 각 행렬은 벡터가 된다.

사실 $\vec{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$와 같이 순서쌍으로 표기하는 것이나 $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{pmatrix}$와 같이 $1 \times 3$ 행렬로 표기하는 것이나 본질적으로 차이가 없다는 점을 떠올려보면 행렬이 벡터라는 것이 더 와닿을 것이다.

함수

연속 함수들의 집합을 생각해보자. $f$와 $g$가 연속함수이면 이 둘을 더한 $f+g$도 여전히 연속함수이다. 또한 임의의 상수를 곱한 $cf$도 여전히 연속함수이다. 따라서 연속함수들의 집합은 벡터공간이되고, 각각의 연속함수들은 벡터가 된다.

실제로 함숫값이 3차원 벡터인 벡터 함수의 경우 다음과 같이 표기함을 떠올려보자.

$$ f(x,y,z) = (xy, yz, z^{2}) $$

내적의 일반화

내적은 벡터를 다룰 때 매우 유용하게 쓰이는 연산이다. 벡터라는 개념을 일반화시킨 것처럼 내적도 그 개념을 일반화해보자. 우선 일반화된 내적의 표기로는 점 $\cdot$ 대신 홑화살괄호 $\left\langle \ ,\ \right\rangle$를 쓴다. $\mathbf{x} = \left( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right)$, $\mathbf{y}=\left( y_{1}, y_{2}, y_{3} \right)$라고 하면 다음과 같이 표기하는 식이다.

$$ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3} = \left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle $$

양자역학에서는 가운데에 쉼표 대신 막대 $|$를 쓴다.

$$ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \braket{\mathbf{x} \vert \mathbf{y} } $$

이를 디랙 노테이션이라 한다. 벡터를 일반화할 때의 핵심은 ‘우리가 벡터라고 생각하는 것이 만족해야할 성질’을 만족하면 그게 무엇이든 간에 벡터라고 부른다는 점이다. 내적의 일반화에서도 마찬가지로 ‘각 성분끼리 곱한 것을 다 더한다’라는 컨셉을 그대로 유지한다. 어떤 벡터공간을 다루냐에 따라서 내적의 정의가 다음과 같이 달라진다.

예시

행렬

두 행렬 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$가 있다고 하자. 이 둘의 내적은 3차원 벡터의 내적과 마찬가지로 ‘각 성분끼리의 곱의 합’ 으로 정의된다.

$$ \braket{ A \vert B } = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{12} + a_{21}b_{21} + a_{22}b_{22} $$

함수

위에서 함수도 벡터라 했으므로, 두 함수의 내적도 정의할 수 있다. 함수의 내적은 다음과 같이 정적분으로 정의된다.

$$ \braket{\psi \vert \phi} = \int \psi^{\ast}(x) \phi(x) dx $$

여기서 $\psi^{\ast}$은 $\psi$의 복소켤레를 의미한다. 다만 표기법에 애매함이 있으니주의하자. 함수의 내적을 왜 이렇게 정의하는지는 ‘함수의 내적을 정적분으로 정의하는 이유’에 잘 설명되어있으니 참고하자.

파동함수

양자역학에서 파동함수란, 위치와 시간에 따른 입자의 상태를 표현하는 함수로써 다음과 같이 지수함수로 표현된다.

$$ \psi (x,t) = e^{i(kx + \omega t)} $$

주로 $\psi$와 $\phi$로 표기하며 각각 [프사이], [파이]로 읽는다. $k$는 파수wave number이며 운동량과 $p = \hbar k$의 관계를 만족한다. 여기서 $\hbar$는 상수이므로, 양자역학에서 $k$를 운동량과 같다고 이해해도 무관하다. $\omega$는 각진동수angular frequency이며 에너지와 $E = \hbar \omega$의 관계를 만족한다.

힐베르트 공간

힐베르트 공간의 엄밀한 정의는 완비 내적공간이다. 이의 수학적 의미를 알고 있으면 물론 좋겠지만, 양자역학을 공부하는 물리학과 학부생에게 필수적인 것은 아니다. 중요한 점은 아주 좋은 성질을 갖는 집합에 힐베르트 공간이라는 이름을 붙여준다는 것과 ‘파동함수들을 모아놓은 집합이 힐베르트 공간이 된다는 점’ 이다. 따라서 여러가지 좋은 수학적인 도구를 사용해서 파동함수를 다룰 수 있다.

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