무한 포텐셜 우물에서 파동함수고유함수 에너지고유값 구하기

무한 포텐셜 우물에서 파동함수고유함수 에너지고유값 구하기

infinite potential well wave function eigen function eigenvalue

정리

무한 포텐셜 우물에서의 파동함수(고유함수)는 $\displaystyle \psi_n{(x)} =\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x$각 고유함수 $\psi_n$에 대한 에너지(고유값)은$\displaystyle E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$

무한 포텐셜 우물에서의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식$ \displaystyle -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{d^2 \psi{(x)}}{dx^2}+U\psi{(x)}=E\psi{(x)},\ \ U=\begin{cases} \infty, & -\infty < x <0 \\ 0, & 0<x<a \\ \infty, & a<x<\infty \end{cases}$

무한 포텐셜 우물은 포텐셜의 모양이 무한히 깊은 우물같이 생겼기 때문에 붙여진 이름이다.양자역학에서 가장 단순하고 중요한 모델이다.그럼 무한 포텐셜 우물에서의 파동함수를 구해보자.파동함수를 구한다는 것은 고유값 문제$\mathrm{Eigenvalue\ problem}$에서 에너지 연산자인 해밀토니안$H$에 대한 고유함수와 고유값을 구하는 것을 말한다.고유함수가 상태함수(혹은 파동함수)이고 고유값이 에너지이다.59F749272.jpg $1.\ E<0$일 때 포텐셜이 항상 $0$보다 크거나 같으므로 에너지가 음일 때는 파동함수가 존재하지 않는다.(증명은 여기를 참고)$2.\ E>0$일 때 슈뢰딩거 방정식은$ \displaystyle \frac{d^2 \psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}E\psi=0,\ (U=0)$이 때 $E$가 양수이므로 $\displaystyle \frac{2m}{\hbar^2}E$도 양수이고 이를 $k^2$이라고 하자$\displaystyle \frac{2m}{\hbar^2}E\equiv k^2 $$ \implies \frac{d^2 \psi}{dx^2} + k^2\psi=0$이 미분방정식을 만족하는 해는$\sin kx,\ \cos kx$이므로 두 함수의 선형결합$\mathrm{linear\ combination}$형태로 나타낼 수 있다.$\psi=A\sin kx + B\cos kx$이 때 경계조건$( \mathrm{boundary \ condition})$을 적용하면$\psi{(0)}=\psi{(a)}=0 $$ \sin$함수는 경계조건을 만족하지만 $\cos$함수는 경계조건을 만족하지 못한다,따라서 $\psi{(x)}=A \sin kx$경계조건으로 $k$를 구해보자.$\psi(a)=A \sin ka =0$이고 $\pi$의 정수배에서 사인함수가 $0$이 되므로$\displaystyle ka=n\pi \implies k=\frac{n\pi}{a} $$ \psi{(x)}=A \sin \frac{n\pi}{a}x$마지막으로 규격화를 통해서 $A$를 구해보자.$\displaystyle \int_0^a \psi ^{\ast} \psi dx=1$ (입자가 어딘가에는 존재해야 하므로 전 구간에서 확률은 $1$)$\displaystyle \begin{align*} 1 =&\ \int_0^a |A|^2 \sin^2 \frac{n\pi}{a}x dx \\ =&\ |A|^2 \int_0^a \frac{1}{2}(1-\cos \frac{2n\pi}{a}x)dx \\ =&\ |A|^2\frac{1}{2} \left[x-\frac{a}{2n\pi}\sin \frac{2n\pi}{a}x\right]_0^a \\ =&\ |A|^2 \frac{a}{2} \end{align*} $$ \implies A=\sqrt{\frac{2}{a}}$따라서 무한 포텐셜 우물에서의 파동함수(고유함수)는$\displaystyle \psi{(x)}=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x$이 때 파동함수 중에서 에너지 준위($n$)가 가장 낮은 상태를 바닥상태$\mathrm{Ground\ state}$라 한다.바닥상태가 아닌 상태는 들뜬 상태$\mathrm{Excited\ state}$라 한다.즉, 무한 포텐셜 우물에서 바닥 상태는 $\psi_1(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left( \dfrac{\pi}{a}x \right)$ 이다.첫 번째 들뜬 상태는 $\psi_2(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left( \dfrac{2\pi}{a}x \right)$,두 번째 들뜬 상태는 $\psi_3(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left( \dfrac{3\pi}{a}x \right)$ 이다.그리고 고유값(에너지)를 구해보자.$\displaystyle \frac{2m}{\hbar^2}E=k^2,\ k=\frac{n\pi}{a}$이므로$\displaystyle E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$이다.에너지$E$가 정수 $n$에 따라서 양자화 돼있다는 것을 알 수 있다.즉, 아무 에너지나 가질 수 있는 것이 아니라 $n$에 대해서 정해진 에너지만을 가질 수 있다.또한 $n^2$에 비례한다는 것을 알 수 있다.아랫첨자 $n$을 써서 다음과 같이 표기한다.$\displaystyle E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$

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