측도론으로 정의되는 확률 변수의 독립

측도론으로 정의되는 확률 변수의 독립

Independence of random variables in terms of measure theory

정의 1

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 이 주어져 있다고 하자.

모든 보렐 셋 $B_{1} , B_{2} \in \mathcal{B} ( \mathbb{R} )$ 에 대해 다음이 성립하면 확률 변수 $X$, $Y$ 가 독립이라고 한다. $$ P \left( X^{-1} (B_{1} ) \cap Y^{-1} (B_{2} ) \right) = P \left( X^{-1} (B_{1}) \right) P \left( Y^{-1} (B_{2}) \right) $$


  • 아직 측도론을 접하지 못했다면 확률 공간이라는 말은 무시해도 좋다.

사실 확률론을 공부함에 있어서 기초적인 분포이론을 지나고나면 사건의 독립이라는 것은 그다지 다루지 않게 된다. 물론 확률 변수의 정의에 따라 $X^{-1} (B_{1}) , Y^{-1} (B_{2}) \in \mathcal{F}$ 는 사건이므로 본질적으로는 사건의 독립과 같은―확장된 개념이고, 또 그렇게 정의하는 것이 옳기도 하다.

언뜻 보기에 식이 복잡해 보여서 마음에 안 들 수 있을 것이다. 그러나 확률 변수 자체가 확률을 수식적으로 잘 다루기 위해 도입한 것이므로, 이러한 정의는 ‘수식으로 다루겠다’는 목적에 충실하다고 할 수 있겠다. 특히 유용한 동치조건으로써 다음이 있다.

정리

확률 변수 $X$, $Y$ 가 독립이라는 것은 다음과 동치다.

  • [1] 기대값: 모든 보렐 함수 $f$, $g$ 에 대해 $$ E \left( f(X) g(Y) \right) = E \left( f(X) \right) E \left( g(X) \right) $$ [2] 조인트 밀도: $X$, $Y$ 가 조인트 밀도 $f_{(X,Y)}$ 를 가질 때 $$ P(X,Y) = P_{X} \times P_{Y} \\ f_{(X,Y)} (x,y) = f_{X} (x) f_{Y} (y) $$

  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p70. ↩︎

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